Resolva pelo método de Gauss-Jacobi com \varepsilon=0,05 e X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0,125 \\\\ -0,25 \\\\ 0,125 \\\\ 0,25\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados\n
Pede-se resolver o sistema linear pelo método de Gauss–Jacobi até que a aproximação satisfaça a tolerância \varepsilon=0,05, começando em X^{(0)}.\n
Dados (copiados do enunciado):\n
O que é o método de Gauss–Jacobi e como obter as fórmulas iterativas\n
Gauss–Jacobi atualiza cada componente isolando x_i\) na \(i\)-ésima equação e usando somente os valores da iteração anterior \(X^{(k)}\) para calcular \(X^{(k+1)}\). Vou isolar cada variável nas equações:\n
Da primeira equação:
\[8x_{1}=1-2x_{2}+x_{3}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{1-2x_{2}+x_{3}}{8}.
Explicando as variáveis: x_{i}^{(k)}\] é a aproximação da \(i-ésima variável na iteração k.]
Passo 3
Condição de convergência (por que o método vai convergir aqui)\n
Uma condição simples suficiente para o Jacobi convergir é que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou que a matriz de iteração tenha raio espectral menor que 1). Vou verificar a dominância por linhas usando os coeficientes (valores absolutos):\n
Linha 1: |a_{11}|=8 e soma dos outros coeficientes |2|+|{-1}|=3. Como 8>3, a linha 1 é estritamente dominante.\n
Linha 2: |a_{22}|=4 e soma dos outros |2|=2. Como 4>2, linha 2 é estritamente dominante.\n
Linha 3: |a_{33}|=8 e soma dos outros |{-1}|+|{-1}|=2. Como 8>2, linha 3 é estritamente dominante.\n
Linha 4: |a_{44}|=4 e soma dos outros |{-1}|=1. Como 4>1, linha 4 é estritamente dominante.\n
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi converge para a solução.
Passo 4
Critério de parada que vamos usar\n
Vou usar o critério padrão de diferença entre iterações consecutivas no máximo absoluto (norma infinito): parar quando
Isto significa que todas as componentes mudaram menos que \varepsilon entre duas iterações sucessivas. Esse critério é simples de aplicar na prova e suficiente para controlar o erro aproximado.
Passo 5
Cálculo da iteração k=0\tok=1\n
Usando X^{(0)}=\begin{pmatrix}0,125\\\ -0,25\\\ 0,125\\\ 0,25\end{pmatrix} e as fórmulas do Passo 2:\n
Agora 0,0390625<\varepsilon(=0,05). Pelo critério do Passo 4, paramos: a aproximação em X^{(2)} satisfaz a tolerância pedida.]
Passo 7
Interpretação do resultado e conselho rápido\n
Encontramos uma aproximação em apenas duas iterações porque o sistema é bem condicionado para Jacobi (diagonal dominante). Na prova, explique as fórmulas, cheque a dominância (como fiz acima) para justificar convergência, e calcule as primeiras iterações até que a máxima diferença entre iterações fique abaixo de \varepsilon. Boa — você já tem a resposta aproximada e o procedimento completo para reproduzir na prova!