Considere o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{r} 8 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}=1 \\\\ -x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -x_{3}+4 x_{4}=1 \end{array}\right.
Resolva pelo método de Gauss-Jacobi com \varepsilon=0,05 e X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0,125 \\\\ -0,25 \\\\ 0,125 \\\\ 0,25\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados\n
Pede-se resolver o sistema linear pelo método de Gauss–Jacobi até que a aproximação satisfaça a tolerância \varepsilon=0,05, começando em X^{(0)}.\n
Dados (copiados do enunciado):\n
\begin{cases} 8x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}-4x_{2}=1,\\[4pt] -x_{2}+8x_{3}-x_{4}=1,\\[4pt] -x_{3}+4x_{4}=1, \end{cases}
\varepsilon=0,05,\qquad X^{(0)}=\begin{pmatrix}0,125\\[4pt]-0,25\\[4pt]0,125\\[4pt]0,25\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jacobi e como obter as fórmulas iterativas\n
Gauss–Jacobi atualiza cada componente isolando x_i\) na \(i\)-ésima equação e usando somente os valores da iteração anterior \(X^{(k)}\) para calcular \(X^{(k+1)}\). Vou isolar cada variável nas equações:\n Da primeira equação: \[8x_{1}=1-2x_{2}+x_{3}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{1-2x_{2}+x_{3}}{8}.
Da segunda:
-4x_{2}=1-2x_{1}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{2x_{1}-1}{4}.
Da terceira:
8x_{3}=1+x_{2}+x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{1+x_{2}+x_{4}}{8}.
Da quarta:
4x_{4}=1+x_{3}\quad\Rightarrow\quad x_{4}=\frac{1+x_{3}}{4}.
As fórmulas iterativas (Gauss–Jacobi) ficam, para k\ge0:
\begin{cases} x_{1}^{(k+1)}=\dfrac{1-2x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}}{8},\\[8pt] x_{2}^{(k+1)}=\dfrac{2x_{1}^{(k)}-1}{4},\\[8pt] x_{3}^{(k+1)}=\dfrac{1+x_{2}^{(k)}+x_{4}^{(k)}}{8},\\[8pt] x_{4}^{(k+1)}=\dfrac{1+x_{3}^{(k)}}{4}. \end{cases}
Explicando as variáveis: x_{i}^{(k)}\] é a aproximação da \(i-ésima variável na iteração k.]

Passo 3

Condição de convergência (por que o método vai convergir aqui)\n
Uma condição simples suficiente para o Jacobi convergir é que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou que a matriz de iteração tenha raio espectral menor que 1). Vou verificar a dominância por linhas usando os coeficientes (valores absolutos):\n
Linha 1: |a_{11}|=8 e soma dos outros coeficientes |2|+|{-1}|=3. Como 8>3, a linha 1 é estritamente dominante.\n
Linha 2: |a_{22}|=4 e soma dos outros |2|=2. Como 4>2, linha 2 é estritamente dominante.\n
Linha 3: |a_{33}|=8 e soma dos outros |{-1}|+|{-1}|=2. Como 8>2, linha 3 é estritamente dominante.\n
Linha 4: |a_{44}|=4 e soma dos outros |{-1}|=1. Como 4>1, linha 4 é estritamente dominante.\n
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi converge para a solução.

Passo 4

Critério de parada que vamos usar\n
Vou usar o critério padrão de diferença entre iterações consecutivas no máximo absoluto (norma infinito): parar quando
\max_{1\le i\le4}\big|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\big|<\varepsilon.
Isto significa que todas as componentes mudaram menos que \varepsilon entre duas iterações sucessivas. Esse critério é simples de aplicar na prova e suficiente para controlar o erro aproximado.

Passo 5

Cálculo da iteração k=0 \to k=1\n
Usando X^{(0)}=\begin{pmatrix}0,125\\\ -0,25\\\ 0,125\\\ 0,25\end{pmatrix} e as fórmulas do Passo 2:\n
x_{1}^{(1)}=\frac{1-2(-0,25)+0,125}{8}=\frac{1+0,5+0,125}{8}=\frac{1,625}{8}=0,203125.
x_{2}^{(1)}=\frac{2(0,125)-1}{4}=\frac{0,25-1}{4}=\frac{-0,75}{4}=-0,1875.
x_{3}^{(1)}=\frac{1+(-0,25)+0,25}{8}=\frac{1+0}{8}=\frac{1}{8}=0,125.
x_{4}^{(1)}=\frac{1+0,125}{4}=\frac{1,125}{4}=0,28125.
Então
X^{(1)}=\begin{pmatrix}0,203125\\[4pt]-0,1875\\[4pt]0,125\\[4pt]0,28125\end{pmatrix}.
Diferenças com X^{(0)}:
\big|X^{(1)}-X^{(0)}\big|=\begin{pmatrix}0,203125-0,125\\[4pt]|-0,1875-(-0,25)|\\[4pt]0,125-0,125\\[4pt]0,28125-0,25\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,078125\\[4pt]0,0625\\[4pt]0\\[4pt]0,03125\end{pmatrix}.
\max\big|X^{(1)}-X^{(0)}\big|=0,078125.
Como 0,078125>\varepsilon(=0,05), ainda não paramos.]

Passo 6

Cálculo da iteração k=1 \to k=2\n
Usando X^{(1)} nas fórmulas:\n
x_{1}^{(2)}=\frac{1-2(-0,1875)+0,125}{8}=\frac{1+0,375+0,125}{8}=\frac{1,5}{8}=0,1875.
x_{2}^{(2)}=\frac{2(0,203125)-1}{4}=\frac{0,40625-1}{4}=\frac{-0,59375}{4}=-0,1484375.
x_{3}^{(2)}=\frac{1+(-0,1875)+0,28125}{8}=\frac{1+0,09375}{8}=\frac{1,09375}{8}=0,13671875.
x_{4}^{(2)}=\frac{1+0,125}{4}=\frac{1,125}{4}=0,28125.
Observação: x_{4}^{(2)} usa x_{3}^{(1)}=0,125, por isso ficou igual a x_{4}^{(1)} nesta iteração.\n
Então
X^{(2)}=\begin{pmatrix}0,1875\\[4pt]-0,1484375\\[4pt]0,13671875\\[4pt]0,28125\end{pmatrix}.
Diferenças com X^{(1)}:
\big|X^{(2)}-X^{(1)}\big|=\begin{pmatrix}|0,1875-0,203125|\\[4pt]|-0,1484375-(-0,1875)|\\[4pt]|0,13671875-0,125|\\[4pt]|0,28125-0,28125|\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,015625\\[4pt]0,0390625\\[4pt]0,01171875\\[4pt]0\end{pmatrix}.
\max\big|X^{(2)}-X^{(1)}\big|=0,0390625.
Agora 0,0390625<\varepsilon(=0,05). Pelo critério do Passo 4, paramos: a aproximação em X^{(2)} satisfaz a tolerância pedida.]

Passo 7

Interpretação do resultado e conselho rápido\n
Encontramos uma aproximação em apenas duas iterações porque o sistema é bem condicionado para Jacobi (diagonal dominante). Na prova, explique as fórmulas, cheque a dominância (como fiz acima) para justificar convergência, e calcule as primeiras iterações até que a máxima diferença entre iterações fique abaixo de \varepsilon. Boa — você já tem a resposta aproximada e o procedimento completo para reproduzir na prova!

Resposta

\begin{pmatrix}0,1875\\[4pt]-0,1484375\\[4pt]0,13671875\\[4pt]0,28125\end{pmatrix}]

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