Use os seguintes métodos para obtenção das raízes das funções apresentadas segundo a precisão exigida:
b) \operatorname{MPF} ; f(x)=\cos (x)-x ; \epsilon=0.01;

Passo 1

O enunciado pede que eu aplique o Método da Posição Falsa (MPF) para obter uma raiz da função \!f(x)=\cos(x)-x com precisão \epsilon=0,01.
Dados fornecidos:
  • Função: \!f(x)=\cos(x)-x.
  • Método exigido: MPF (posição falsa / regula falsi).
  • Precisão: \epsilon=0,01.

Passo 2

Explicação do Método da Posição Falsa (MPF), com fórmulas e regras passo a passo (sem pular etapas).
  • Ideia principal: manter um intervalo [a,b] tal que \!f(a) e \!f(b) tenham sinais opostos (ou seja, \!f(a)\cdot f(b)<0). A raiz está contida nesse intervalo por continuidade. Em cada iteração a aproximação da raiz é dada pelo ponto de intersecção da reta que liga (a,f(a)) a (b,f(b)) com o eixo x.
  • Fórmula do ponto intermediário (abscissa da interseção):
x_r=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui \!a e \!b são as extremidades do intervalo atual, \!f(a) e \!f(b) seus valores; \!x_r é a nova aproximação da raiz.
  • Como atualizar o intervalo:
    • Calcular \!f(x_r).
    • Se \!f(a)\cdot f(x_r)<0 então a raiz está em [a,x_r] e atualiza-se b\leftarrow x_r.
    • Se \!f(b)\cdot f(x_r)<0 então a raiz está em [x_r,b] e atualiza-se a\leftarrow x_r.
    • Se \!f(x_r)=0 então x_r é raiz exata.
  • Critério de parada (vou usar um critério comum e pedido pelo enunciado): parar quando o valor absoluto da função no ponto aproximado for menor que a precisão, isto é, quando
|f(x_r)|<\epsilon.
Escolhi este critério porque o enunciado deu \epsilon sem especificar, e é uma escolha prática: garante que a imagem da aproximação esteja suficientemente próxima de zero.

Passo 3

Escolher um intervalo inicial com sinal trocado. Avalio \!f em alguns pontos fáceis:
f(0)=\cos(0)-0=1.
f(1)=\cos(1)-1\approx 0,5403023059-1=-0,4596976941\\ (\text{negativo}).
Como \!f(0)=1>0 e \!f(1)\approx-0,4597<0, existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Então tomo a=0 e b=1.

Passo 4

Primeira iteração (com todos os cálculos detalhados).
  • Valores iniciais: a=0,\qquad b=1,\qquad f(a)=1,\qquad f(b)\approx -0,4596977.
  • Calcula-se x_{r1} pela fórmula da posição falsa: x_{r1}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{0\cdot(-0,4596977)-1\cdot 1}{-0,4596977-1} =\frac{-1}{-1,4596977}\approx 0,684652.
  • Agora precisamos de \!f(x_{r1})=\cos(x_{r1})-x_{r1}. Para avaliar \cos(0,684652) sem calculadora vou usar a aproximação pelo polinômio de Taylor truncado (suficiente aqui para a precisão que queremos):
    • Calcular potências: x_{r1}^2\approx 0,684652^2\approx 0,468728, \qquad x_{r1}^4\approx (0,468728)^2\approx 0,219701.
    • Aproximação de \cos x por \cos x\approx 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24} (termos superiores pequenos para esse x): \cos(0,684652)\approx 1-\dfrac{0,468728}{2}+\dfrac{0,219701}{24} =1-0,234364+0,009154\approx 0,774790.
    • Então f(x_{r1})\approx 0,774790-0,684652=0,090138.
  • Comparação com \epsilon: |f(x_{r1})|\approx 0,090138>0,01, logo ainda não satisfaz o critério de parada.
  • Atualização do intervalo: como f(a)=1>0 e f(x_{r1})\approx 0,090138>0 têm o mesmo sinal, substitui-se a\leftarrow x_{r1}. O novo intervalo é [a,b]=[0,684652,\;1].

Passo 5

Segunda iteração (novamente com contas detalhadas).
  • Valores atuais: a\approx 0,684652,\qquad b=1,
f(a)\approx 0,090138,\qquad f(b)\approx -0,4596977.
  • Calcula-se x_{r2}: x_{r2}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{0,684652\cdot(-0,4596977)-1\cdot 0,090138}{-0,4596977-0,090138}.Fazendo as contas: 0,684652\cdot(-0,4596977)\approx -0,314861,
\text{numerador}\approx -0,314861-0,090138=-0,404999,
\text{denominador}\approx -0,4596977-0,090138=-0,5498357,
x_{r2}\approx\frac{-0,404999}{-0,5498357}\approx 0,736535.
  • Avaliar \!f(x_{r2})=\cos(0,736535)-0,736535. Novamente uso a aproximação por Taylor:
    • Potências: x_{r2}^2\approx 0,736535^2\approx 0,542497, \qquad x_{r2}^4\approx (0,542497)^2\approx 0,294303.
    • Aproximação de \cos: \cos(0,736535)\approx 1-\dfrac{0,542497}{2}+\dfrac{0,294303}{24} =1-0,271249+0,012263\approx 0,741014.
    • Logo f(x_{r2})\approx 0,741014-0,736535=0,004479.
  • Comparação com \epsilon: |f(x_{r2})|\approx 0,004479<0,01. Portanto o critério de parada é satisfeito e podemos aceitar x_{r2} como aproximação da raiz com a precisão exigida.
  • Observação sobre sinais: \!f(x_{r2})>0, ainda positiva; se fosse continuar as iterações substituiríamos a\leftarrow x_{r2}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: usando o MPF em duas iterações encontramos uma aproximação que atende à exigência \epsilon=0,01. Dá para ver que o método aproximou bem a raiz verdadeira (conhecida por ~0,739…). Mandar ver na prova: escolha um bom intervalo inicial (aqui [0,1] é óbvio), aplique a fórmula, calcule \cos com uma aproximação (série truncada ou tabelas) e pare quando |f(x_r)|<\epsilon. Bom trabalho — já dominou a execução prática do MPF!

Resposta

x\approx 0,736535

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