Use os seguintes métodos para obtenção das raízes das funções apresentadas segundo a precisão exigida:
b)
;
b)
Passo 1
O enunciado pede que eu aplique o Método da Posição Falsa (MPF) para obter uma raiz da função
com precisão
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Função:
. - Método exigido: MPF (posição falsa / regula falsi).
- Precisão:
.
Passo 2
Explicação do Método da Posição Falsa (MPF), com fórmulas e regras passo a passo (sem pular etapas).
- Ideia principal: manter um intervalo
tal que e tenham sinais opostos (ou seja, ). A raiz está contida nesse intervalo por continuidade. Em cada iteração a aproximação da raiz é dada pelo ponto de intersecção da reta que liga a com o eixo . - Fórmula do ponto intermediário (abscissa da interseção):
Aqui
e
são as extremidades do intervalo atual,
e
seus valores;
é a nova aproximação da raiz.
- Como atualizar o intervalo:
- Calcular
. - Se
então a raiz está em e atualiza-se . - Se
então a raiz está em e atualiza-se . - Se
então é raiz exata.
- Calcular
- Critério de parada (vou usar um critério comum e pedido pelo enunciado): parar quando o valor absoluto da função no ponto aproximado for menor que a precisão, isto é, quando
Escolhi este critério porque o enunciado deu
sem especificar, e é uma escolha prática: garante que a imagem da aproximação esteja suficientemente próxima de zero.
Passo 3
Escolher um intervalo inicial com sinal trocado. Avalio
em alguns pontos fáceis:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Então tomo
e
.
Passo 4
Primeira iteração (com todos os cálculos detalhados).
- Valores iniciais:
- Calcula-se
pela fórmula da posição falsa: - Agora precisamos de
. Para avaliar sem calculadora vou usar a aproximação pelo polinômio de Taylor truncado (suficiente aqui para a precisão que queremos): - Calcular potências:
- Aproximação de
por (termos superiores pequenos para esse ): - Então
- Calcular potências:
- Comparação com
: , logo ainda não satisfaz o critério de parada. - Atualização do intervalo: como
e têm o mesmo sinal, substitui-se . O novo intervalo é .
Passo 5
Segunda iteração (novamente com contas detalhadas).
- Valores atuais:
- Calcula-se
: Fazendo as contas:
- Avaliar
. Novamente uso a aproximação por Taylor: - Potências:
- Aproximação de
: - Logo
- Potências:
- Comparação com
: . Portanto o critério de parada é satisfeito e podemos aceitar como aproximação da raiz com a precisão exigida. - Observação sobre sinais:
, ainda positiva; se fosse continuar as iterações substituiríamos .
Passo 6
Interpretação final e incentivo: usando o MPF em duas iterações encontramos uma aproximação que atende à exigência
. Dá para ver que o método aproximou bem a raiz verdadeira (conhecida por ~0,739…). Mandar ver na prova: escolha um bom intervalo inicial (aqui
é óbvio), aplique a fórmula, calcule
com uma aproximação (série truncada ou tabelas) e pare quando
. Bom trabalho — já dominou a execução prática do MPF!