Considere o sistema de equações lineares:
[lll 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[l 8 6 4 ]
a) Faça trocas de linhas e, caso possível, resolva o sistema obtido usando o método LU.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos: um sistema linear
[
0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1 x1x2x3 = 864,

,
]
que é sobre o conteúdo de “fatoração LU” e “substituições direta e reversa”. Para usar LU a gente precisa de pivôs não nulos na diagonal, então vamos trocar linhas pra colocar um bom pivô em (1,1) e só aí decompor em e . Depois a gente resolve usando forward e back substitution.

Passo 2

Primeiro, trocamos a linha 1 com a linha 3, porque o elemento underbrace 3 & 1 & 1 1 & 3 & 0 0 & 2 & 2 tilde A x1x2x3 = underbrace468tilde b é melhor pivô do que zero. Fazendo isso, o sistema vira
[
\underbrace{ }_{\tilde A}

\underbrace{ }_{\tilde b}.
]
A troca no vem de você colocar o lá em cima (antes era linha 3).

Passo 3

Agora decompomos m21 = 13 em (1,3,0) - tfrac13,(3,1,1) = (0,;3-tfrac13,;0-tfrac13) = l(0,;tfrac83,;-tfrac13r) .
  1. Eliminação na coluna 1:
    • O multiplicador para zerar m32 = 28/3 = 34 é (0,2,2) - tfrac34,(0,tfrac83,-tfrac13) = (0,0,;2 + tfrac34cdottfrac13) = l(0,0,;tfrac94r) Então a linha 2 vira L = 1 & 0 & 0 tfrac13 & 1 & 0 0 & tfrac34 & 1 , U = 3 & 1 & 1 0 & tfrac83 & -tfrac13 0 & 0 & tfrac94
    • Para a linha 3, , nada muda.
  2. Eliminação na coluna 2 (já na submatriz 2×2):
    • O pivô . O multiplicador Então a linha 3 vira
Ficamos assim:

Passo 4

Com y1 = 4, y2 = 6 - tfrac13,y1 = 6 - tfrac43 = tfrac143, y3 = 8 - tfrac34,y2 = 8 - tfrac34cdottfrac143 = 8 - tfrac144 = tfrac92 e em mãos, a gente resolve por substituição direta:

Passo 5

Agora resolvemos tfrac94,x3 = tfrac92 ;Longrightarrow; x3 = 2, tfrac83,x2 ;-;tfrac13,x3 = tfrac143 ;Longrightarrow;8x2 - x3 = 14 ;Longrightarrow;8x2 = 16;Longrightarrow;x2=2, 3,x1 + 1cdot x2 + 1cdot x3 = 4 ;Longrightarrow;3x1 + 2 + 2 = 4 ;Longrightarrow;3x1 = 0;Longrightarrow;x1=0 por back substitution:

Resposta

(x1,,x2,,x3) = (0,;2,;2)

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