Considere o sistema de equações lineares:
[lll 0 & 0 & 1 2 & 2 & 0 t & 2 & 0 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 0 0 ]
Tome t=4, faça trocas de linhas e resolva o sistema obtido usando o método iterativo de Gauss-Seidel, com x^(0)=(0.1,0.1,0.1)^t e varepsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, temos um sistema de 3 equações lineares com parâmetro . A ideia é, primeiro, tomar ; depois fazer umas trocas de linhas pra garantir pivôs (os coeficientes da diagonal) diferentes de zero e, de preferência, com dominância diagonal; por fim, resolver o sistema trocado via método iterativo de Gauss–Seidel até que a diferença entre duas iterações seguidas seja menor que . Aqui o conteúdo é Álgebra Linear (sistema linear, permutações de linha) e Métodos Iterativos (Gauss–Seidel). Vamos precisar entender como:
  1. trocar linhas para alinhar bons pivôs;
  2. montar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel;
  3. checar critério de parada .

Passo 2

Escrevendo o sistema com 0,x1 + 0,x2 + 1,x3 = 1, 2,x1 + 2,x2 + 0,x3 = 0, 4,x1 + 2,x2 + 0,x3 = 0 :
4,x1 + 2,x2 + 0,x3 = 0, 2,x1 + 2,x2 + 0,x3 = 0, 0,x1 + 0,x2 + 1,x3 = 1
Percebe que o primeiro pivô (coeficiente de na primeira eq.) é zero. Pra evitar divisão por zero e, de quebra, tentar melhorar a convergência, a gente faz esta troca de linhas:
  • Nova linha 1 ← antiga linha 3 (para ter pivô 4).
  • Nova linha 2 ← antiga linha 2 (pivô 2).
  • Nova linha 3 ← antiga linha 1 (pivô 1).
    Fica:

Passo 3

Agora, Gauss–Seidel é assim: isolamos cada variável na sua equação usando sempre os valores mais novos que já temos. Do sistema trocado:
(1) x1^(k+1) &= -0.5,x2^(k), x2^(k+1) &= -,x1^(k+1), x3^(k+1) &= 1 |x^(k+1)-x^(k)|infty = maxil|xi^(k+1)-xi^(k)r| < 0.01 .
(2) .
(3) (sempre igual).
Então, a regra de iteração fica:
Critério de parada:

Passo 4

Partindo de x1^(1) = -0.5cdot0.1 = -0.05, x2^(1) = -(-0.05)= 0.05, x3^(1) = 1 Longrightarrow |x^(1)-x^(0)|infty = max(0.15,0.05,0.9)=0.9 :
k=0 → k=1:
x1^(2)=-0.5cdot0.05=-0.025, x2^(2)=-(-0.025)=0.025, x3^(2)=1
ainda acima de 0.01.
k=1 → k=2:
x1^(3)=-0.5cdot0.025=-0.0125, x2^(3)=0.0125, x3^(3)=1
x1^(4)=-0.5cdot0.0125=-0.00625, x2^(4)=0.00625, x3^(4)=1 .
k=2 → k=3:
.
k=3 → k=4:
.
Parou aqui!

Resposta

Aproximação via Gauss–Seidel (tol.\ 0.01) em 4 iterações:
xapprox l(,-0.00625,;0.00625,;1r)^!t

Exercícios relacionados