Tome t=4, faça trocas de linhas e resolva o sistema obtido usando o método iterativo de Gauss-Seidel, com x^(0)=(0.1,0.1,0.1)^t e varepsilon=0.01.
Passo 1
Beleza, temos um sistema de 3 equações lineares com parâmetro . A ideia é, primeiro, tomar ; depois fazer umas trocas de linhas pra garantir pivôs (os coeficientes da diagonal) diferentes de zero e, de preferência, com dominância diagonal; por fim, resolver o sistema trocado via método iterativo de Gauss–Seidel até que a diferença entre duas iterações seguidas seja menor que . Aqui o conteúdo é Álgebra Linear (sistema linear, permutações de linha) e Métodos Iterativos (Gauss–Seidel). Vamos precisar entender como:
trocar linhas para alinhar bons pivôs;
montar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel;
checar critério de parada .
Passo 2
Escrevendo o sistema com 0,x1 + 0,x2 + 1,x3 = 1, 2,x1 + 2,x2 + 0,x3 = 0, 4,x1 + 2,x2 + 0,x3 = 0 :
Percebe que o primeiro pivô (coeficiente de na primeira eq.) é zero. Pra evitar divisão por zero e, de quebra, tentar melhorar a convergência, a gente faz esta troca de linhas:
Nova linha 1 ← antiga linha 3 (para ter pivô 4).
Nova linha 2 ← antiga linha 2 (pivô 2).
Nova linha 3 ← antiga linha 1 (pivô 1).
Fica:
Passo 3
Agora, Gauss–Seidel é assim: isolamos cada variável na sua equação usando sempre os valores mais novos que já temos. Do sistema trocado:
(1) x1^(k+1) &= -0.5,x2^(k), x2^(k+1) &= -,x1^(k+1), x3^(k+1) &= 1 ⇒ |x^(k+1)-x^(k)|infty = maxil|xi^(k+1)-xi^(k)r| < 0.01 .
(2) ⇒ .
(3) ⇒ (sempre igual).