Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -10 & 2 & 2 1 & 6 & 0 -1 & 1 & 3 ][l x1 x2 x3 ]=[r -8 7 0 ]
Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado usando o método iterativo de Jacobi-Richardson a partir de x^(0)=(0,0,0)^t e varepsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: um sistema linear
[
-10 & 2 & 2 1 & 6 & 0 -1 & 1 & 3 x1x2x3 = -870,
xi^(k+1)=1aiil(bi-sumjneq iaijxj^(k)r),

,
]
e o que a gente vai usar é o método iterativo de Jacobi–Richardson. Precisamos ver se ele converge (verificar dominância diagonal), depois escrever a fórmula de iteração
e, a partir de , ir calculando até o erro ser menor que .

Passo 2

Antes de começar a iterar, confere se dá para usar Jacobi tranquilo. A condição usual é a matriz ser estritamente diagonal dominante, ou seja em cada linha
|aii|>sumjneq i|aij|
Linha 1: ok.
Linha 2: ok.
Linha 3: ok.
Portanto a convergência está garantida!

Passo 3

Vamos escrever a regra de iteração de Jacobi para cada variável:
x1^(k+1)=-8 -2,x2^(k) -2,x3^(k)-10,[1em] x2^(k+1)=7 -1,x1^(k) -0cdot x3^(k)6,[1em] x3^(k+1)=0 -(-1),x1^(k) -1,x2^(k)3 =x1^(k)-x2^(k)3

Passo 4

Calculando a primeira iteração ( x1^(1)=-8-2cdot0-2cdot0-10=0.8, x2^(1)=7-06approx1.1667, x3^(1)=0-03=0 , ):
Então . O erro (diferença máxima) é , continua.

Passo 5

Iteração 2 ( x1^(2)=-8-2cdot1.1667-2cdot0-10approx1.0333, x2^(2)=7-0.86approx1.0333, x3^(2)=0.8-1.16673approx-0.1222 ):
. Erro ≈0.2333, ainda .

Passo 6

Iteração 3 ( x1^(3)approx-8-2cdot1.0333-2(-0.1222)-10=0.9822, x2^(3)approx7-1.03336=0.9944, x3^(3)=1.0333-1.03333=0 ):
. Erro ≈0.1222, ainda .

Passo 7

Iteração 4 ( x1^(4)approx-8-2cdot0.9944-2cdot0-10=0.9989, x2^(4)approx7-0.98226=1.00296, x3^(4)=0.9822-0.99443approx-0.00407 ):
. Erro ≈0.0167, ainda .

Passo 8

Iteração 5 ( x1^(5)approx-8-2cdot1.00296-2(-0.00407)-10=0.99978, x2^(5)approx7-0.99896=1.00019, x3^(5)=0.9989-1.002963approx-0.00136 ):
. O erro máximo entre e é menor que 0.01, então paramos.

Resposta

A solução aproximada pelo método de Jacobi–Richardson com xapprox 0.9998 1.0002 -0.0014 e é

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