Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -10 & 2 & 2 1 & 6 & 0 -1 & 1 & 3 ][l x1 x2 x3 ]=[r -8 7 0 ]
Caso o critério de Sassenfeld esteja satisfeito, usando o método iterativo de Gauss-Seidel, resolva o sistema dado a partir de x^(0)=(-2,1,0)^t e varepsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver, via método de Gauss–Seidel, o sistema
$$
-10 & 2 & 2 [6pt] 1 & 6 & 0 [6pt] -1 & 1 & 3 x1 x2 x3 = -8 7 0 ,
x^(0) = (-2,1,0)^T

varepsilon = 0.01,
$$
usando o chute inicial varepsilon e tolerância .
Conteúdo: método iterativo Gauss–Seidel e critério de convergência de Sassenfeld.
O que precisamos:
1) Verificar o critério de Sassenfeld pra garantir que o Gauss–Seidel converge.
2) Reescrever cada equação isolando uma incógnita.
3) Iterar até que a diferença entre iterações fique abaixo de .

Passo 2

Critério de Sassenfeld diz: definimos números betai assim
beta1 = |a12| + |a13||a11|, beta2 = |a21|beta1 + |a23||a22|, beta3 = |a31|beta1 + |a32|beta2|a33|
Se max(beta1,beta2,beta3) < 1, garantimos convergência.
No nosso caso:
beta1 = |2| + |2|10 = 410 = 0.4,
beta2 = |1|cdot0.4 + 06 = 0.46 approx 0.0667,
beta3 = |-1|cdot0.4 + |1|cdot0.06673 = 0.4 + 0.06673 approx 0.1556
Como max = 0.4 < 1, beleza, podemos usar Gauss–Seidel.

Passo 3

Passo básico do Gauss–Seidel: isolamos cada xi e usamos sempre os valores mais recentes.
Do sistema:
  1. -10x1 + 2x2 + 2x3 = -8 ;Rightarrow; x1 = -8 - 2x2 - 2x3-10 = 0.8 + 0.2,x2 + 0.2,x3
  2. 1x1 + 6x2 + 0cdot x3 = 7 ;Rightarrow; x2 = 7 - x16 = 76 - x16
  3. -1x1 + 1x2 + 3x3 = 0 ;Rightarrow; x3 = x1 - x23

Passo 4

Iteração 1, usando x^(0) = (x1^(0),x2^(0),x3^(0)) = (-2,1,0):
  1. x1^(1) = 0.8 + 0.2cdot1 + 0.2cdot0 = 1.0
  2. x2^(1) = tfrac76 - tfrac1.06 = tfrac66 = 1.0
  3. x3^(1) = tfrac1.0 - 1.03 = 0.0
    Então x^(1) = (1.0,,1.0,,0.0).

Passo 5

Iteração 2, usando x^(1):
  1. x1^(2) = 0.8 + 0.2cdot1.0 + 0.2cdot0.0 = 1.0
  2. x2^(2) = tfrac76 - tfrac1.06 = 1.0
  3. x3^(2) = tfrac1.0 - 1.03 = 0.0
    Logo x^(2)=(1.0,1.0,0.0) novamente.
Agora a diferença entre x^(2) e x^(1) é zero em todas as componentes, bem abaixo de varepsilon=0.01. Então paramos aqui.

Resposta

A solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel é
boxed(x1,x2,x3) = (1.0,;1.0,;0.0)

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