Realize duas iterações do método de Newton na resolução do sistema não linear abaixo:
lx1^2+x2^2=2 e^x1-1+x2^3=2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. A gente tem um sistema não-linear
x1^2 + x2^2 = 2, e^,x1-1 + x2^3 = 2
e um chute inicial
1,5 2,0
O tópico aqui é o método de Newton para sistemas, em que a gente vai:
  1. montar o vetor de funções ,
  2. montar a Jacobiana ,
  3. resolver um sistema linear para achar o passo ,
  4. atualizar .
    Vamos fazer duas iterações disso, explicando o que cada pedacinho significa.

Passo 2

Primeira iteração ( f1(1,5,2,0)=1,5^2+2^2-2=2,25+4-2=4,25, ):
  1. Definindo as funções
    f2(1,5,2,0)=e^1,5-1+2^3-2=e^0,5+8-2approx1,6487+6=7,6487
    Em :
partial f1partial x1 & partial f1partial x2 partial f2partial x1 & partial f2partial x2
2x1 & 2x2 e^,x1-1 & 3x2^2
  1. Jacobiana
    J(1,5,2,0)= 2cdot1,5 & 2cdot2 e^0,5 & 3cdot2^2 approx 3 & 4 1,6487 & 12
    Em 3 & 4 1,6487 & 12 De:
-0,6937-0,5419
  1. Resolver x^(1) = x^(0) + De:

[

.
]
Resolvendo (por regra de Cramer ou eliminação) dá
  1. Atualização

Passo 3

Segunda iteração ( f1(0,8063,1,4581) =0,8063^2+1,4581^2-2 approx0,6502+2,1269-2=0,7771, ) usando :
  1. Avaliando f2(0,8063,1,4581) =e^-0,1937+1,4581^3-2 approx0,8243+3,1015-2=1,9258 :
J(0,8063,1,4581) approx 2cdot0,8063 & 2cdot1,4581 e^-0,1937 & 3cdot1,4581^2 = 1,6126 & 2,9162 0,8243 & 6,3806
1,6126 & 2,91620,8243 & 6,3806
  1. Jacobiana em De:

[
\mathbf J(0{,}8063,1{,}4581)
\approx
-0,7771-1,9258

0,0833-0,3129.
]
  1. Resolver
    x^(2) = x^(1) + De

  2. Atualização

Resposta

Após duas iterações de Newton, a aproximação do sistema é
0,88961,1452

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