Determine integral0^1 ln (1+x)1+x^2 d x por Simpson, com erro menor que 10-5.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a integral
integral0^1 ln(1+x)1+x^2,dx
usando a Regra de Simpson, de forma que o erro seja menor que .
Isso envolve:
  1. conhecer a fórmula de Simpson e a estimativa de erro dela;
  2. calcular (ou estimar) a derivada de ordem 4 de para achar quantos sub-intervalos precisamos;
  3. avaliar nos pontos certos e montar a soma de Simpson.

Passo 2

Primeiro, recapitula a Regra de Simpson num intervalo Sn = h3l[f(x0) + f(xn) + 4sumi=1,3,5,dots^n-1f(xi) +2sumi=2,4,6,dots^n-2f(xi)r], dividido em l|ESr|<= (b-a)^5180,n^4,maxxiin[a,b]|f^(4)(xi)|, sub-intervalos (com par):
onde e .
A estimativa de erro é

Passo 3

Temos max[0,1]|f^(4)(x)| approx 24 . Se você calcular até a quarta derivada (ou usar ferramentas simbólicas), encontra que, em 1^5180,n^4,24 < 10^-5 Longrightarrow n^4 > 24180cdot10^-5 = 241.8times10^-3 approx 1.333times10^4 ,
Longrightarrow n > l(1.333times10^4r)^1/4approx 11.1
Então, botamos , e queremos
Como deve ser par, escolhemos .

Passo 4

Agora aplicamos Simpson com h = 1-012 = 0.0833333ldots . Então
f(0)&=0, & f(1)&=ln22approx0.346575, f(0.08333)&approx0.0795, & f(0.91667)&approx0.3527, f(0.16667)&approx0.14995,& f(0.83333)&approx0.3577, f(0.25)&approx0.2100, & f(0.75)&approx0.3582, f(0.33333)&approx0.2589, & f(0.66667)&approx0.3537, f(0.41667)&approx0.2969, & f(0.58333)&approx0.3430, f(0.5)&approx0.32438 & &
e os pontos são , .
Calculando (aproximadamente)

Passo 5

Agora formamos as somas:
Soma dos sum(i) ímpar f(xi) approx 0.0795 +0.2100+0.2969+0.3430+0.3582+0.3527 =1.6403 ímpares (1,3,5,7,9,11):
sum(i) par f(xi) approx 0.14995+0.2589+0.32438+0.3537+0.3577 =1.4447 í
Soma dos S12 =h3l[f(x0)+f(x12) +4cdot1.6403 +2cdot1.4447r] pares (2,4,6,8,10):
=0.08333333l[0 +0.346575 +6.5612 +2.8894r] approx 0.27215
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Passo 6

Confira o erro:
|ES|<= 1^5180cdot12^4,24 approx 6.4times10^-6 < 10^-5,
então está dentro do pedido.

Resposta

com erro menor que .

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