Determine
por Simpson, com erro menor que 10-5.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a integral
usando a Regra de Simpson, de forma que o erro seja menor que
.
Isso envolve:
Isso envolve:
- conhecer a fórmula de Simpson e a estimativa de erro dela;
- calcular (ou estimar) a derivada de ordem 4 de
para achar quantos sub-intervalos precisamos; - avaliar
nos pontos certos e montar a soma de Simpson.
Passo 2
Primeiro, recapitula a Regra de Simpson num intervalo
dividido em
sub-intervalos (com
par):
onde
e
.
A estimativa de erro é
A estimativa de erro é
Passo 3
Temos
max[0,1]|f^(4)(x)| approx 24 . Se você calcular até a quarta derivada (ou usar ferramentas simbólicas), encontra que, em
1^5180,n^4,24 < 10^-5 Longrightarrow n^4 > 24180cdot10^-5 = 241.8times10^-3 approx 1.333times10^4 ,
Então, botamos
,
e queremos
Como
deve ser par, escolhemos
.
Passo 4
Agora aplicamos Simpson com
h = 1-012 = 0.0833333ldots . Então
e os pontos são
,
.
Calculando (aproximadamente)
Calculando (aproximadamente)
Passo 5
Agora formamos as somas:
Soma dos sum(i) ímpar f(xi) approx 0.0795 +0.2100+0.2969+0.3430+0.3582+0.3527 =1.6403 ímpares (1,3,5,7,9,11):
Soma dos
Soma dos
S12 =h3l[f(x0)+f(x12) +4cdot1.6403 +2cdot1.4447r] pares (2,4,6,8,10):
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Passo 6
Confira o erro:
então está dentro do pedido.