Considere o sistema de equações lineares:
[lll 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[l 8 6 4 ]
Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 1

Beleza, vou te dar a solução passo a passo usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
O enunciado diz que temos o sistema
[
0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1 x1x2x3 = 864


]
Isso é Álgebra Linear básica: a ideia é transformar essa matriz aumentada em forma triangular (só zeros abaixo da diagonal principal) trocando linhas quando necessário (pivotamento parcial) e subtraindo múltiplos de linhas. No final, a gente resolve por substituição (back-substitution).

Passo 2

Primeiro, fazemos o pivotamento parcial na primeira coluna.
  1. Olhamos os valores absolutos em [ccc|c 3 & 1 & 1 & 4 1 & 3 & 0 & 6 0 & 2 & 2 & 8 ] : são m21 = a21a11 = 13, . O maior é 3 (linha 3).
  2. Então trocamos linha 1 com linha 3. A matriz aumentada vira
linha2 linha2 - m21,linha1
  1. Agora zeramos o elemento abaixo do pivô (o “3” em [ccc|c 3 & 1 & 1 & 4 0 & tfrac83 & -tfrac13 & tfrac143 0 & 2 & 2 & 8 ] ). Para isso, definimos o multiplicador
e fazemos
Calculemos cada entrada:
  • Nova .
  • Nova .
  • Nova .
  • Novo termo independente .
A linha 3 já tem zero na coluna 1, então ela não muda. Resultado:

Passo 3

Agora fazemos pivotamento parcial na segunda coluna (considerando só linhas 2 e 3). Comparamos
m32 = a32a22 = 2tfrac83 = 2cdot38 = tfrac34, e linha3 linha3 - m32,linha2 , o maior é [ccc|c 3 & 1 & 1 & 4 0 & tfrac83 & -tfrac13 & tfrac143 0 & 0 & tfrac94 & tfrac92 ] (já está em linha 2), então não precisamos trocar linhas.
Para zerar o , usamos
e fazemos
Calculando:
  • Nova .
  • Nova .
  • Novo termo independente
Agora nossa matriz está triangular superior:

Passo 4

Hora do back-substitution, ou seja, resolver de baixo pra cima:
  1. Da linha 3:
tfrac94,x3 = tfrac92 Longrightarrow x3 = tfrac92tfrac94 = 92cdot49 = 2
  1. Da linha 2:
tfrac83,x2 ;+;l(-tfrac13r)x3 = tfrac143 Longrightarrow tfrac83,x2 - tfrac13cdot2 = tfrac143
tfrac83,x2 - tfrac23 = tfrac143 Longrightarrow tfrac83,x2 = tfrac163 Longrightarrow x2 = 2
  1. Da linha 1:
3,x1 + 1,x2 + 1,x3 = 4 Longrightarrow 3,x1 + 2 + 2 = 4 Longrightarrow 3,x1 = 0 Longrightarrow x1 = 0

Resposta

(x1,,x2,,x3) = (0,;2,;2)

Exercícios relacionados