Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
Passo 1
Beleza, vou te dar a solução passo a passo usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
O enunciado diz que temos o sistema
[ 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1 x1x2x3 = 864
]
Isso é Álgebra Linear básica: a ideia é transformar essa matriz aumentada em forma triangular (só zeros abaixo da diagonal principal) trocando linhas quando necessário (pivotamento parcial) e subtraindo múltiplos de linhas. No final, a gente resolve por substituição (back-substitution).
Passo 2
Primeiro, fazemos o pivotamento parcial na primeira coluna.
Olhamos os valores absolutos em [ccc|c 3 & 1 & 1 & 4 1 & 3 & 0 & 6 0 & 2 & 2 & 8 ] : são m21 = a21a11 = 13, . O maior é 3 (linha 3).
Então trocamos linha 1 com linha 3. A matriz aumentada vira
linha2 linha2 - m21,linha1
Agora zeramos o elemento abaixo do pivô (o “3” em [ccc|c 3 & 1 & 1 & 4 0 & tfrac83 & -tfrac13 & tfrac143 0 & 2 & 2 & 8 ] ). Para isso, definimos o multiplicador
e fazemos
Calculemos cada entrada:
Nova .
Nova .
Nova .
Novo termo independente .
A linha 3 já tem zero na coluna 1, então ela não muda. Resultado:
Passo 3
Agora fazemos pivotamento parcial na segunda coluna (considerando só linhas 2 e 3). Comparamos m32 = a32a22 = 2tfrac83 = 2cdot38 = tfrac34, e linha3 linha3 - m32,linha2 , o maior é [ccc|c 3 & 1 & 1 & 4 0 & tfrac83 & -tfrac13 & tfrac143 0 & 0 & tfrac94 & tfrac92 ] (já está em linha 2), então não precisamos trocar linhas.
Para zerar o , usamos
e fazemos
Calculando:
Nova .
Nova .
Novo termo independente
Agora nossa matriz está triangular superior:
Passo 4
Hora do back-substitution, ou seja, resolver de baixo pra cima: