(a) Indique, através do uso dos critérios de convergência, para quais métodos iterativos o sistema acima converge.
(b) Partindo do vetor nulo, realize duas iterações do método iterativo de sua preferência. Calcule o erro relativo a cada iteração.
ponto de partida para iterações: vetor nulo \;x^{(0)}=(0,0,0)^T.]
Passo 2
Breve revisão didática dos critérios de convergência que vou usar (sem pular etapas):
Critério da dominância diagonal por linhas: se, para cada linha i,
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel convergem para qualquer x^{(0)}. Aqui |a_{ii}| é o módulo do elemento da diagonal principal da linha i e a soma é a soma dos módulos dos demais elementos dessa linha.
Critério de Sassenfeld (para Gauss–Seidel): define-se sequencialmente
Se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge (garantido).
Critério do raio espectral (para Jacobi ou geral): para o método de Jacobi a matriz de iteração é B_J=D^{-1}(L+U) (onde A=D-L-U com D diagonal, -L e -U estrita inferior e superior). O método de Jacobi converge se e somente se o raio espectral \rho(B_J)<1. Na prática costuma-se estimar ou calcular os autovalores de B_J.
Vou aplicar esses critérios ao nosso sistema.
Passo 3
Teste de dominância diagonal por linhas (vou calcular a soma dos módulos dos off-diagonais em cada linha):
Linha 1: |a_{11}|=2. Soma dos demais: |0{,}5|+|0{,}5|=1.
Como 2>1, a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=5. Soma dos demais: |8|+|0{,}5|=8{,}5.
Como 5<8{,}5, a linha 2 NÃO é diagonalmente dominante.
Linha 3: |a_{33}|=10. Soma dos demais: |10|+|5|=15.
Como 10<15, a linha 3 NÃO é diagonalmente dominante.
Conclusão desta etapa: a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas (apenas a linha 1 satisfaz). Portanto não podemos afirmar convergência dos métodos Jacobi/Gauss–Seidel apenas por dominância diagonal.
Passo 4
Aplicação do critério de Sassenfeld (para Gauss–Seidel). Vou calcular \beta_1,\beta_2,\beta_3 passo a passo.
Primeiro, uso os módulos dos coeficientes da matriz A:
Para garantir convergência do Jacobi precisamos \rho(B_J)<1, onde \rho(\cdot) é o raio espectral (máximo dos módulos dos autovalores). Vou calcular o polinômio característico de B_J e estimar os autovalores.
Multiplicando por -1 (para ter a forma usual) obtemos
\lambda^3-0{,}7\lambda -0{,}225=0.
Este polinômio tem uma raiz real positiva e duas raízes que poderão ser reais ou complexas. Fazendo uma estimativa numérica (teste de valores e divisão sintética) encontra-se uma raiz real aproximadamente
\lambda_1\approx 0{,}966.
Ao dividir o polinômio por (\lambda-\lambda_1) obtém-se um quadrático cujas raízes são aproximadamente
Os módulos são aproximadamente |\lambda_1|\approx0{,}966,\;|\lambda_2|\approx0{,}471,\;|\lambda_3|\approx0{,}495. Portanto
\rho(B_J)=\max_i|\lambda_i|\approx0{,}966<1.
Conclusão desta etapa: o método de Jacobi também converge (porque \rho(B_J)<1).]
Passo 6
Resumo das conclusões sobre convergência (resposta da parte (a), já justificada): tanto o método de Gauss–Seidel quanto o método de Jacobi convergem para este sistema. A justificativa: Sassenfeld dá \max\beta_i=0{,}95<1 (portanto Gauss–Seidel converge) e o raio espectral da matriz de iteração de Jacobi foi estimado \rho(B_J)\approx0{,}966<1 (portanto Jacobi converge).
Agora vou fazer a parte prática (b): a partir do vetor nulo realizar duas iterações. Para ser prático e porque Sassenfeld nos deu uma garantia construtiva, escolho o método de Gauss–Seidel (normalmente convergente mais rápido que Jacobi aqui).
Passo 7
Preparando as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel. A ideia do Gauss–Seidel é usar as equações originais para isolar cada incógnita e, na iteração k+1, usar os valores já atualizados das incógnitas anteriores na mesma iteração.
Isolando as incógnitas nas equações:
Q_1=\frac{1}{2}\big(7-0{,}5Q_2-0{,}5Q_3\big),
Q_2=\frac{1}{5}\big(5-8Q_1-0{,}5Q_3\big),
Q_3=\frac{1}{10}\big(3-10Q_1-5Q_2\big).
As fórmulas de iteração (Gauss–Seidel) ficam, para cada iteração k\to k+1:
Definição e cálculo do erro relativo usado: vou usar a norma infinito (norma do máximo módulo das componentes), que é simples de calcular e muito usada em análise de iterações. Para duas iterações consecutivas x^{(k)} e x^{(k+1)} o erro relativo é
\text{erro relativo}_2=\frac{2{,}11}{6{,}71}\approx0{,}3146\quad\text{(ou seja }31{,}46\%\text{)}.
Resposta
(a) O sistema converge para os métodos de Gauss–Seidel e de Jacobi.
(b) x^{(1)}=(3{,}5,\,-4{,}6,\,-0{,}9)^T com erro relativo (norma infinito) =1{,}00 (ou 100\%). x^{(2)}=(4{,}875,\,-6{,}71,\,-1{,}22)^T com erro relativo (norma infinito) \approx0{,}3146 (ou 31{,}46\%).