Considere o sistema de equações lineares a seguir:
\begin{cases}2 Q_{1}+0.5 Q_{2}+0.5 Q_{3} & =7 \\\\ 8 Q_{1}+5 Q_{2}+0.5 Q_{3} & =5 \\\\ 10 Q_{1}+5 Q_{2}+10 Q_{3} & =3\end{cases}
(a) Indique, através do uso dos critérios de convergência, para quais métodos iterativos o sistema acima converge.
(b) Partindo do vetor nulo, realize duas iterações do método iterativo de sua preferência. Calcule o erro relativo a cada iteração.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2 Q_{1}+0{,}5 Q_{2}+0{,}5 Q_{3}=7,\\[4pt] 8 Q_{1}+5 Q_{2}+0{,}5 Q_{3}=5,\\[4pt] 10 Q_{1}+5 Q_{2}+10 Q_{3}=3, \end{cases}
e pede duas coisas:
  1. Indicar, usando critérios de convergência, para quais métodos iterativos o sistema converge.
  2. A partir do vetor nulo, realizar duas iterações de um método iterativo à escolha e calcular o erro relativo a cada iteração.
Informações relevantes fornecidas:
  • Matriz dos coeficientes A tem entradas
A=\begin{pmatrix} 2 & 0{,}5 & 0{,}5\\[4pt] 8 & 5 & 0{,}5\\[4pt] 10 & 5 & 10 \end{pmatrix},
  • vetor termo independente \;b=(7,5,3)^T.
  • ponto de partida para iterações: vetor nulo \;x^{(0)}=(0,0,0)^T.]

Passo 2

Breve revisão didática dos critérios de convergência que vou usar (sem pular etapas):
  • Critério da dominância diagonal por linhas: se, para cada linha i,
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então os métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel convergem para qualquer x^{(0)}. Aqui |a_{ii}| é o módulo do elemento da diagonal principal da linha i e a soma é a soma dos módulos dos demais elementos dessa linha.
  • Critério de Sassenfeld (para Gauss–Seidel): define-se sequencialmente
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\neq1}|a_{1j}|,
e para i\ge2,
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big).
Se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge (garantido).
  • Critério do raio espectral (para Jacobi ou geral): para o método de Jacobi a matriz de iteração é B_J=D^{-1}(L+U) (onde A=D-L-U com D diagonal, -L e -U estrita inferior e superior). O método de Jacobi converge se e somente se o raio espectral \rho(B_J)<1. Na prática costuma-se estimar ou calcular os autovalores de B_J.
Vou aplicar esses critérios ao nosso sistema.

Passo 3

Teste de dominância diagonal por linhas (vou calcular a soma dos módulos dos off-diagonais em cada linha):
Linha 1: |a_{11}|=2. Soma dos demais: |0{,}5|+|0{,}5|=1.
Como 2>1, a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=5. Soma dos demais: |8|+|0{,}5|=8{,}5.
Como 5<8{,}5, a linha 2 NÃO é diagonalmente dominante.
Linha 3: |a_{33}|=10. Soma dos demais: |10|+|5|=15.
Como 10<15, a linha 3 NÃO é diagonalmente dominante.
Conclusão desta etapa: a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas (apenas a linha 1 satisfaz). Portanto não podemos afirmar convergência dos métodos Jacobi/Gauss–Seidel apenas por dominância diagonal.

Passo 4

Aplicação do critério de Sassenfeld (para Gauss–Seidel). Vou calcular \beta_1,\beta_2,\beta_3 passo a passo.
Primeiro, uso os módulos dos coeficientes da matriz A:
|a_{11}|=2,\quad |a_{12}|=0{,}5,\quad |a_{13}|=0{,}5,
|a_{21}|=8,\quad |a_{22}|=5,\quad |a_{23}|=0{,}5,
|a_{31}|=10,\quad |a_{32}|=5,\quad |a_{33}|=10.
Calculemos:
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\big(|a_{12}|+|a_{13}|\big)=\frac{1}{2}(0{,}5+0{,}5)=\frac{1}{2}\cdot1=0{,}5.
\beta_2=\frac{1}{|a_{22}|}\big(|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|\big) =\frac{1}{5}\big(8\cdot 0{,}5 + 0{,}5\big)=\frac{1}{5}(4+0{,}5)=\frac{4{,}5}{5}=0{,}9.
\beta_3=\frac{1}{|a_{33}|}\big(|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2\big) =\frac{1}{10}\big(10\cdot0{,}5 + 5\cdot0{,}9\big)=\frac{1}{10}(5+4{,}5)=\frac{9{,}5}{10}=0{,}95.
Então \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}=0{,}95<1. Pelo critério de Sassenfeld, o método de Gauss–Seidel converge para qualquer x^{(0)}.

Passo 5

Análise para o método de Jacobi (uso do raio espectral). Primeiro deduzo a matriz de iteração de Jacobi B_J.
Escrevo A=D-( -L-U) mas o que interessa é B_J = D^{-1}(L+U) onde D=\operatorname{diag}(2,5,10), e L+U contém os off-diagonais.
Então
B_J=D^{-1}(L+U)= \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{0{,}5}{2} & \dfrac{0{,}5}{2}\\[8pt] \dfrac{8}{5} & 0 & \dfrac{0{,}5}{5}\\[8pt] \dfrac{10}{10} & \dfrac{5}{10} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}25 & 0{,}25\\[6pt] 1{,}6 & 0 & 0{,}1\\[6pt] 1 & 0{,}5 & 0 \end{pmatrix}.
Para garantir convergência do Jacobi precisamos \rho(B_J)<1, onde \rho(\cdot) é o raio espectral (máximo dos módulos dos autovalores). Vou calcular o polinômio característico de B_J e estimar os autovalores.
Matriz B_J-\lambda I:
\begin{pmatrix} -\lambda & 0{,}25 & 0{,}25\\[6pt] 1{,}6 & -\lambda & 0{,}1\\[6pt] 1 & 0{,}5 & -\lambda \end{pmatrix}.
O determinante (polinômio característico) é, desenvolvendo por Laplace na primeira coluna,
\det(B_J-\lambda I)=-\lambda\big((-\lambda)(-\lambda)-0{,}1\cdot0{,}5\big)-0{,}25\big(1{,}6(-\lambda)-0{,}1\cdot1\big)+0{,}25\big(1{,}6\cdot0{,}5-(-\lambda)\cdot1\big).
Simplificando passo a passo:
-\lambda(\lambda^2-0{,}05)+(-0{,}25)(-1{,}6\lambda-0{,}1)+0{,}25(0{,}8+\lambda).
Reorganizando os termos obtemos o polinômio
-\lambda^3+0{,}05\lambda +0{,}4\lambda+0{,}025+0{,}2+0{,}25\lambda =-\lambda^3 +0{,}7\lambda +0{,}225.
Multiplicando por -1 (para ter a forma usual) obtemos
\lambda^3-0{,}7\lambda -0{,}225=0.
Este polinômio tem uma raiz real positiva e duas raízes que poderão ser reais ou complexas. Fazendo uma estimativa numérica (teste de valores e divisão sintética) encontra-se uma raiz real aproximadamente
\lambda_1\approx 0{,}966.
Ao dividir o polinômio por (\lambda-\lambda_1) obtém-se um quadrático cujas raízes são aproximadamente
\lambda_2\approx -0{,}471\qquad\text{e}\qquad \lambda_3\approx -0{,}495.
Os módulos são aproximadamente |\lambda_1|\approx0{,}966,\;|\lambda_2|\approx0{,}471,\;|\lambda_3|\approx0{,}495. Portanto
\rho(B_J)=\max_i|\lambda_i|\approx0{,}966<1.
Conclusão desta etapa: o método de Jacobi também converge (porque \rho(B_J)<1).]

Passo 6

Resumo das conclusões sobre convergência (resposta da parte (a), já justificada): tanto o método de Gauss–Seidel quanto o método de Jacobi convergem para este sistema. A justificativa: Sassenfeld dá \max\beta_i=0{,}95<1 (portanto Gauss–Seidel converge) e o raio espectral da matriz de iteração de Jacobi foi estimado \rho(B_J)\approx0{,}966<1 (portanto Jacobi converge).
Agora vou fazer a parte prática (b): a partir do vetor nulo realizar duas iterações. Para ser prático e porque Sassenfeld nos deu uma garantia construtiva, escolho o método de Gauss–Seidel (normalmente convergente mais rápido que Jacobi aqui).

Passo 7

Preparando as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel. A ideia do Gauss–Seidel é usar as equações originais para isolar cada incógnita e, na iteração k+1, usar os valores já atualizados das incógnitas anteriores na mesma iteração.
Isolando as incógnitas nas equações:
Q_1=\frac{1}{2}\big(7-0{,}5Q_2-0{,}5Q_3\big),
Q_2=\frac{1}{5}\big(5-8Q_1-0{,}5Q_3\big),
Q_3=\frac{1}{10}\big(3-10Q_1-5Q_2\big).
As fórmulas de iteração (Gauss–Seidel) ficam, para cada iteração k\to k+1:
Q_1^{(k+1)}=\frac{1}{2}\big(7-0{,}5Q_2^{(k)}-0{,}5Q_3^{(k)}\big),
Q_2^{(k+1)}=\frac{1}{5}\big(5-8Q_1^{(k+1)}-0{,}5Q_3^{(k)}\big),
Q_3^{(k+1)}=\frac{1}{10}\big(3-10Q_1^{(k+1)}-5Q_2^{(k+1)}\big).
Vou aplicar essas fórmulas partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^T.

Passo 8

Primeira iteração ( k=0 \Rightarrow produzo x^{(1)}):
Começo com Q_1^{(1)}:
Q_1^{(1)}=\frac{1}{2}\big(7-0{,}5\cdot 0 -0{,}5\cdot 0\big)=\frac{7}{2}=3{,}5.
Agora Q_2^{(1)} usando Q_1^{(1)} e Q_3^{(0)}=0:
Q_2^{(1)}=\frac{1}{5}\big(5-8\cdot 3{,}5 -0{,}5\cdot 0\big)=\frac{1}{5}\big(5-28\big)=\frac{-23}{5}=-4{,}6.
Agora Q_3^{(1)} usando Q_1^{(1)} e Q_2^{(1)}:
Q_3^{(1)}=\frac{1}{10}\big(3-10\cdot 3{,}5 -5\cdot(-4{,}6)\big) =\frac{1}{10}\big(3-35+23\big)=\frac{-9}{10}=-0{,}9.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}Q_1^{(1)}\\[4pt]Q_2^{(1)}\\[4pt]Q_3^{(1)}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3{,}5\\[4pt]-4{,}6\\[4pt]-0{,}9\end{pmatrix}.]

Passo 9

Segunda iteração ( k=1 \Rightarrow produzo x^{(2)}):
Calculo Q_1^{(2)} usando Q_2^{(1)},Q_3^{(1)}:
Q_1^{(2)}=\frac{1}{2}\big(7-0{,}5(-4{,}6)-0{,}5(-0{,}9)\big) =\frac{1}{2}\big(7+2{,}3+0{,}45\big)=\frac{9{,}75}{2}=4{,}875.
Calculo Q_2^{(2)} usando Q_1^{(2)} e Q_3^{(1)}:
Q_2^{(2)}=\frac{1}{5}\big(5-8\cdot4{,}875 -0{,}5(-0{,}9)\big) =\frac{1}{5}\big(5-39+0{,}45\big)=\frac{-33{,}55}{5}=-6{,}71.
(Nota: -33{,}55/5=-6{,}71 com arredondamento a duas casas decimais; mantenho esse valor para consistência nos cálculos seguintes.)
Calculo Q_3^{(2)} usando Q_1^{(2)},Q_2^{(2)}:
Q_3^{(2)}=\frac{1}{10}\big(3-10\cdot4{,}875 -5\cdot(-6{,}71)\big) =\frac{1}{10}\big(3-48{,}75 +33{,}55\big)=\frac{-12{,}2}{10}=-1{,}22.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}4{,}875\\[4pt]-6{,}71\\[4pt]-1{,}22\end{pmatrix}.]

Passo 10

Definição e cálculo do erro relativo usado: vou usar a norma infinito (norma do máximo módulo das componentes), que é simples de calcular e muito usada em análise de iterações. Para duas iterações consecutivas x^{(k)} e x^{(k+1)} o erro relativo é
\text{erro relativo}=\frac{\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty}{\|x^{(k+1)}\|_\infty},
onde \|v\|_\infty=\max_i|v_i|.
Cálculo para a iteração 1 (comparando x^{(1)} com x^{(0)}=(0,0,0)):
Diferença x^{(1)}-x^{(0)}=x^{(1)}=(3{,}5,\,-4{,}6,\,-0{,}9)^T.
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=\max\{3{,}5,4{,}6,0{,}9\}=4{,}6.
\|x^{(1)}\|_\infty=4{,}6.
Portanto
\text{erro relativo}_1=\frac{4{,}6}{4{,}6}=1\quad\text{(ou seja }100\%\text{)}.
Cálculo para a iteração 2 (comparando x^{(2)} com x^{(1)}):
Diferença x^{(2)}-x^{(1)}=(4{,}875-3{,}5,\; -6{,}71-(-4{,}6),\; -1{,}22-(-0{,}9))
=(1{,}375,\; -2{,}11,\; -0{,}32).
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=\max\{1{,}375,\;2{,}11,\;0{,}32\}=2{,}11.
\|x^{(2)}\|_\infty=\max\{4{,}875,\;6{,}71,\;1{,}22\}=6{,}71.
Portanto
\text{erro relativo}_2=\frac{2{,}11}{6{,}71}\approx0{,}3146\quad\text{(ou seja }31{,}46\%\text{)}.

Resposta

(a) O sistema converge para os métodos de Gauss–Seidel e de Jacobi.
(b) x^{(1)}=(3{,}5,\,-4{,}6,\,-0{,}9)^T com erro relativo (norma infinito) =1{,}00 (ou 100\%).
x^{(2)}=(4{,}875,\,-6{,}71,\,-1{,}22)^T com erro relativo (norma infinito) \approx0{,}3146 (ou 31{,}46\%).

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