A partir do sistema linear que pode ser montado operando as equações abaixo,
\begin{aligned} 50\left(x_{1}-x_{2}\right) & =1000-x_{1} \\\\ 100\left(x_{2}-x_{1}\right) & =20 x_{1} \end{aligned}
(a) Verifique se este sistema obedece o critério das linhas e Sassenfeld.
(b) Independente da convergência, realize duas iteraçoes do método de Jacobi (considere o valor inicial x_{1}=0 e x_{2}=0 ). Calcule o erro relativo do vetor solução em cada iteração.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações
\begin{aligned} 50\left(x_{1}-x_{2}\right) & =1000-x_{1} \\\\ 100\left(x_{2}-x_{1}\right) & =20 x_{1} \end{aligned}
e pede:
(a) verificar se o sistema obedece o critério das linhas (criticidade por dominância diagonal por linha) e o critério de Sassenfeld;
(b) realizar duas iterações do método de Jacobi com vetor inicial x^{(0)}=(0,0) e, para cada iteração, calcular o erro relativo do vetor solução.
Informações relevantes dadas: as duas equações acima e a condição inicial x_{1}^{(0)}=0, x_{2}^{(0)}=0.

Passo 2

Vamos transformar as equações na forma padrão A x=b (ou seja, reunir termos em x_{1} e x_{2} à esquerda e constantes à direita).
Primeira equação:
50(x_{1}-x_{2})=1000-x_{1}
desenvolvendo:
50x_{1}-50x_{2}=1000-x_{1}.
Somando x_{1} aos dois lados:
50x_{1}+x_{1}-50x_{2}=1000
logo
51x_{1}-50x_{2}=1000.
Segunda equação:
100(x_{2}-x_{1})=20x_{1}
desenvolvendo:
100x_{2}-100x_{1}=20x_{1}.
Passando o termo 20x_{1} para a esquerda:
100x_{2}-100x_{1}-20x_{1}=0
ou
-120x_{1}+100x_{2}=0.
Multiplicando por -1 (apenas para escrever o coeficiente diagonal de forma mais direta) obtemos
120x_{1}-100x_{2}=0.
Portanto, o sistema na forma matricial é
A=\begin{pmatrix}51 & -50 \\[4pt] 120 & -100\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1000\\[4pt] 0\end{pmatrix},
isto é
\begin{cases} 51x_{1}-50x_{2}=1000,\\[4pt] 120x_{1}-100x_{2}=0. \end{cases}]

Passo 3

Antes de usar o método iterativo, vamos obter a solução exata x^{*} do sistema (ela será necessária para calcular os erros relativos).
Da segunda equação 120x_{1}-100x_{2}=0 temos
120x_{1}=100x_{2}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{120}{100}x_{1}=\frac{6}{5}x_{1}=1{,}2\,x_{1}.
Substituindo na primeira equação:
51x_{1}-50\left(1{,}2x_{1}\right)=1000,
ou
51x_{1}-60x_{1}=1000,
logo
-9x_{1}=1000\quad\Rightarrow\quad x_{1}=-\frac{1000}{9}.
Então
x_{2}=1{,}2\left(-\frac{1000}{9}\right)=-\frac{1200}{9}=-\frac{400}{3}.
Portanto a solução exata é
x^{*}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1000}{9}\\[6pt]-\dfrac{400}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora explico o que é o critério das linhas (dominância diagonal por linhas) e verifico no sistema.
Definição (critério das linhas): uma matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se todas as linhas satisfazem essa desigualdade, o sistema é dito obedecer o critério das linhas (isto garante convergência de Gauss–Seidel e também de Jacobi quando for estrita para todas as linhas, em muitas situações práticas).
Aplicando ao nosso A:
  • Linha 1: a_{11}=51 e o somatório dos outros módulos é |a_{12}|=|-50|=50. Comparando:
|51|>50 \quad\text{(ou seja \(51>50\))},
logo a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
  • Linha 2: a_{22}=-100\Rightarrow |a_{22}|=100 e |a_{21}|=|120|=120. Comparando:
100 \not> 120,
portanto a linha 2 NÃO é diagonalmente dominante (é, na verdade, dominada pelos termos fora da diagonal).
Conclusão: o sistema NÃO obedece o critério das linhas porque a segunda linha falha na desigualdade (mesmo que a primeira linha satisfaça).

Passo 5

Agora explico o critério de Sassenfeld e verifico-o passo a passo (é útil para prever convergência do método de Gauss–Seidel; se o vetor de Sassenfeld tem norma máxima menor que 1, a iteração de Gauss–Seidel converge; também é usado para estimar convergência).
Definição (Sassenfeld): define-se o vetor \beta com componentes
\beta_{i}=\frac{1}{|a_{ii}|}\sum_{j\ne i}|a_{ij}|\beta_{j},
onde, no somatório, para índices j<i usa-se os \beta_{j} já calculados e para j>i usa-se \beta_{j}=1 (ou, de forma comum em dimensionamento direto, começa-se por \beta_{1}=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}| e segue recursivamente usando os \beta anteriores). No caso de duas incógnitas a forma prática é:
\beta_{1}=\frac{|a_{12}|}{|a_{11}|},\qquad \beta_{2}=\frac{|a_{21}|\beta_{1}}{|a_{22}|}.
Se \max(\beta_{i})<1, dizemos que o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Calculemos:
\beta_{1}=\frac{|a_{12}|}{|a_{11}|}=\frac{50}{51}\approx 0{,}98039.
Em seguida
\beta_{2}=\frac{|a_{21}|\beta_{1}}{|a_{22}|}=\frac{120\cdot\frac{50}{51}}{100} =\frac{120\cdot50}{51\cdot100}=\frac{6000}{5100}=\frac{60}{51}=\frac{20}{17}\approx 1{,}17647.
Aqui \beta_{2}\approx1{,}17647>1. Assim \max(\beta_{i})>1 e o critério de Sassenfeld NÃO é satisfeito.
Conclusão: o critério de Sassenfeld também NÃO é obedecido.

Passo 6

Agora explico o método de Jacobi e preparo as fórmulas iterativas.
Regra do Jacobi para Ax=b: para i-ésima componente,
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_{i}-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right).
Aplicando ao nosso sistema (relembrando as equações na forma 51x_{1}-50x_{2}=1000 e 120x_{1}-100x_{2}=0):
  • Para x_{1}:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{51}\big(1000-(-50)x_{2}^{(k)}\big) =\frac{1000+50x_{2}^{(k)}}{51}.
(Observe que o coeficiente fora da diagonal é -50, por isso b_{1}-a_{12}x_{2}^{(k)}=1000-(-50)x_{2}^{(k)}.)
  • Para x_{2}:
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{-100}\big(0-120x_{1}^{(k)}\big)=\frac{-120x_{1}^{(k)}}{-100}=1{,}2\,x_{1}^{(k)}.
Portanto o esquema iterativo é
\begin{cases} x_{1}^{(k+1)}=\dfrac{1000+50x_{2}^{(k)}}{51},\\[8pt] x_{2}^{(k+1)}=1{,}2\,x_{1}^{(k)}. \end{cases}]

Passo 7

Vamos calcular a iteração k=1 com x^{(0)}=(0,0).
Usando as fórmulas:
x_{1}^{(1)}=\frac{1000+50\cdot x_{2}^{(0)}}{51}=\frac{1000+50\cdot 0}{51}=\frac{1000}{51}.
x_{2}^{(1)}=1{,}2\cdot x_{1}^{(0)}=1{,}2\cdot 0=0.
Portanto
x^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{1000}{51}\\[6pt]0\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}19{,}607843\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora calculo o erro relativo da iteração 1. Primeiro explico a definição que vou usar.
Definição (erro relativo do vetor): eu uso aqui a norma Euclidiana (norma 2) para medir o erro relativo:
\text{erro relativo}=\frac{\|x^{(k)}-x^{*}\|_{2}}{\|x^{*}\|_{2}},
onde \|v\|_{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}. (Escolhi a norma 2 porque é uma definição padrão e direta; o procedimento seria análogo com outra norma, contanto que se diga qual.)
Já obtivemos x^{*}=\big(-\frac{1000}{9},-\frac{400}{3}\big) e x^{(1)}=\big(\frac{1000}{51},0\big). Calculemos:
Vetor erro na iteração 1:
x^{(1)}-x^{*}= \begin{pmatrix} \dfrac{1000}{51}-\big(-\dfrac{1000}{9}\big)\\[6pt] 0-\big(-\dfrac{400}{3}\big) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1000}{51}+\dfrac{1000}{9}\\[6pt] \dfrac{400}{3} \end{pmatrix}.
Computei a soma na primeira componente com denominador comum 153:
\dfrac{1000}{51}+\dfrac{1000}{9}=\dfrac{1000\cdot3}{153}+\dfrac{1000\cdot17}{153}=\dfrac{20000}{153}.
Assim o erro é
e^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{20000}{153}\\[6pt]\dfrac{400}{3}\end{pmatrix}.
Norma do erro:
\|e^{(1)}\|_{2} =\sqrt{\left(\dfrac{20000}{153}\right)^{2}+\left(\dfrac{400}{3}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{816\,160\,000}{23\,409}} \approx 186{,}70\quad(\text{aprox.}).
Norma da solução exata:
\|x^{*}\|_{2}=\sqrt{\left(\dfrac{1000}{9}\right)^{2}+\left(\dfrac{400}{3}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{2\,440\,000}{81}} \approx 173{,}56\quad(\text{aprox.}).
Portanto o erro relativo na iteração 1 é
\frac{\|e^{(1)}\|_{2}}{\|x^{*}\|_{2}}\approx\frac{186{,}70}{173{,}56}\approx 1{,}076.
Isto é, cerca de 107{,}6\% (o erro relativo é maior que 1, indicando que a aproximação está bastante longe da solução exata).]

Passo 9

Agora calculo a segunda iteração k=2.
Usando as fórmulas e os valores de x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1000+50x_{2}^{(1)}}{51}=\frac{1000+50\cdot 0}{51}=\frac{1000}{51}.
(Observação: como x_{2}^{(1)}=0, x_{1} não mudou entre as iterações 1 e 2.)
x_{2}^{(2)}=1{,}2\cdot x_{1}^{(1)}=1{,}2\cdot\frac{1000}{51}=\frac{1200}{51}=\frac{400}{17}.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}\dfrac{1000}{51}\\[6pt]\dfrac{1200}{51}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1000}{51}\\[6pt]\dfrac{400}{17}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}19{,}607843\\[4pt]23{,}529412\end{pmatrix}.]

Passo 10

Calculo o erro relativo da iteração 2.
Vetor erro:
x^{(2)}-x^{*}= \begin{pmatrix} \dfrac{1000}{51}+\dfrac{1000}{9}\\[6pt] \dfrac{1200}{51}+\dfrac{400}{3} \end{pmatrix}.
Já avaliamos a primeira componente como \dfrac{20000}{153}. Para a segunda componente:
\dfrac{1200}{51}+\dfrac{400}{3} =\dfrac{1200}{51}+\dfrac{400\cdot17}{51} =\dfrac{1200+6800}{51}=\dfrac{8000}{51}=\dfrac{24000}{153}.
Logo o vetor erro é
e^{(2)}=\begin{pmatrix}\dfrac{20000}{153}\\[6pt]\dfrac{24000}{153}\end{pmatrix}.
Norma do erro:
\|e^{(2)}\|_{2} =\frac{1}{153}\sqrt{20000^{2}+24000^{2}} =\frac{\sqrt{976\,000\,000}}{153} \approx 204{,}22\quad(\text{aprox.}).
Usamos a mesma norma da solução exata \|x^{*}\|_{2}\approx173{,}56. Assim o erro relativo na iteração 2 é
\frac{\|e^{(2)}\|_{2}}{\|x^{*}\|_{2}}\approx\frac{204{,}22}{173{,}56}\approx 1{,}177,
ou seja cerca de 117{,}7\%.]

Resposta

(a) Não obedece o critério das linhas (a segunda linha não é diagonalmente dominante).
(a) Não obedece o critério de Sassenfeld (os betas são \beta_{1}=50/51\approx0{,}98039, \beta_{2}=20/17\approx1{,}17647, logo \max\beta>1).
(b) x^{(1)}=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{1000}{51}\\[6pt]0\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}19{,}607843\\[4pt]0\end{pmatrix}; erro relativo \approx 1{,}076 (≈107,6%).
(b) x^{(2)}=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{1000}{51}\\[6pt]\dfrac{1200}{51}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}19{,}607843\\[4pt]23{,}529412\end{pmatrix}; erro relativo \approx 1{,}177 (≈117,7%).]

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