(a) Verifique se este sistema obedece o critério das linhas e Sassenfeld.
(b) Independente da convergência, realize duas iteraçoes do método de Jacobi (considere o valor inicial x_{1}=0 e x_{2}=0 ). Calcule o erro relativo do vetor solução em cada iteração.
e pede:
(a) verificar se o sistema obedece o critério das linhas (criticidade por dominância diagonal por linha) e o critério de Sassenfeld;
(b) realizar duas iterações do método de Jacobi com vetor inicial x^{(0)}=(0,0) e, para cada iteração, calcular o erro relativo do vetor solução.
Informações relevantes dadas: as duas equações acima e a condição inicial x_{1}^{(0)}=0, x_{2}^{(0)}=0.
Passo 2
Vamos transformar as equações na forma padrão A x=b (ou seja, reunir termos em x_{1} e x_{2} à esquerda e constantes à direita).
Primeira equação:
50(x_{1}-x_{2})=1000-x_{1}
desenvolvendo:
50x_{1}-50x_{2}=1000-x_{1}.
Somando x_{1} aos dois lados:
50x_{1}+x_{1}-50x_{2}=1000
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51x_{1}-50x_{2}=1000.
Segunda equação:
100(x_{2}-x_{1})=20x_{1}
desenvolvendo:
100x_{2}-100x_{1}=20x_{1}.
Passando o termo 20x_{1} para a esquerda:
100x_{2}-100x_{1}-20x_{1}=0
ou
-120x_{1}+100x_{2}=0.
Multiplicando por -1 (apenas para escrever o coeficiente diagonal de forma mais direta) obtemos
Agora explico o que é o critério das linhas (dominância diagonal por linhas) e verifico no sistema.
Definição (critério das linhas): uma matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se todas as linhas satisfazem essa desigualdade, o sistema é dito obedecer o critério das linhas (isto garante convergência de Gauss–Seidel e também de Jacobi quando for estrita para todas as linhas, em muitas situações práticas).
Aplicando ao nosso A:
Linha 1: a_{11}=51 e o somatório dos outros módulos é |a_{12}|=|-50|=50. Comparando:
|51|>50 \quad\text{(ou seja \(51>50\))},
logo a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2: a_{22}=-100\Rightarrow |a_{22}|=100 e |a_{21}|=|120|=120. Comparando:
100 \not> 120,
portanto a linha 2 NÃO é diagonalmente dominante (é, na verdade, dominada pelos termos fora da diagonal).
Conclusão: o sistema NÃO obedece o critério das linhas porque a segunda linha falha na desigualdade (mesmo que a primeira linha satisfaça).
Passo 5
Agora explico o critério de Sassenfeld e verifico-o passo a passo (é útil para prever convergência do método de Gauss–Seidel; se o vetor de Sassenfeld tem norma máxima menor que 1, a iteração de Gauss–Seidel converge; também é usado para estimar convergência).
Definição (Sassenfeld): define-se o vetor \beta com componentes
onde, no somatório, para índices j<i usa-se os \beta_{j} já calculados e para j>i usa-se \beta_{j}=1 (ou, de forma comum em dimensionamento direto, começa-se por \beta_{1}=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}| e segue recursivamente usando os \beta anteriores). No caso de duas incógnitas a forma prática é:
onde \|v\|_{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}. (Escolhi a norma 2 porque é uma definição padrão e direta; o procedimento seria análogo com outra norma, contanto que se diga qual.)
Já obtivemos x^{*}=\big(-\frac{1000}{9},-\frac{400}{3}\big) e x^{(1)}=\big(\frac{1000}{51},0\big). Calculemos:
(a) Não obedece o critério das linhas (a segunda linha não é diagonalmente dominante).
(a) Não obedece o critério de Sassenfeld (os betas são \beta_{1}=50/51\approx0{,}98039, \beta_{2}=20/17\approx1{,}17647, logo \max\beta>1).