Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}2.86 x_{1}+6.72 x_{2}+3.10 x_{3} & =8.21 \\\ 6.72 x_{1}+17.40 x_{2}+8.18 x_{3} & =23.60 \\\ 3.10 x_{1}+8.18 x_{2}+4.00 x_{3} & =12.00\end{cases}
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Jordan com pivotação parcial.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear (três equações, três incógnitas) e pede que ele seja resolvido usando eliminação de Jordan com pivotação parcial:
\begin{cases} 2{,}86\,x_{1}+6{,}72\,x_{2}+3{,}10\,x_{3}=8{,}21\\[4pt] 6{,}72\,x_{1}+17{,}40\,x_{2}+8{,}18\,x_{3}=23{,}60\\[4pt] 3{,}10\,x_{1}+8{,}18\,x_{2}+4{,}00\,x_{3}=12{,}00
Informações relevantes fornecidas:
\text{Coeficientes e termos independentes:} \begin{pmatrix} 2{,}86 & 6{,}72 & 3{,}10 & | & 8{,}21\\[3pt] 6{,}72 & 17{,}40 & 8{,}18 & | & 23{,}60\\[3pt] 3{,}10 & 8{,}18 & 4{,}00 & | & 12{,}00 \end{pmatrix}
As tarefas explícitas do enunciado que vamos cumprir: (1) usar eliminação de Jordan (Gauss–Jordan), (2) aplicar pivotação parcial (trocar linhas para que o pivô seja o maior em módulo na coluna), e (3) chegar à solução (x_{1},x_{2},x_{3}).]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial e explico rapidamente os conceitos que vamos usar.
Matriz aumentada inicial:
\begin{pmatrix} 2{,}86 & 6{,}72 & 3{,}10 & | & 8{,}21\\[3pt] 6{,}72 & 17{,}40 & 8{,}18 & | & 23{,}60\\[3pt] 3{,}10 & 8{,}18 & 4{,}00 & | & 12{,}00 \end{pmatrix}
O que é pivotação parcial?
  • Em cada coluna de pivô (coluna 1, depois coluna 2, etc.) escolhemos, entre as linhas disponíveis, a entrada com maior valor absoluto nessa coluna e trocamos a linha atual por essa linha. Isso reduz erros numéricos e evita dividir por números muito pequenos.
  • Operações de linha permitidas (não mudam o sistema):
    1. trocar duas linhas,
    2. multiplicar uma linha por uma constante não nula,
    3. somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar.
  • No método de Gauss–Jordan queremos transformar a matriz aumentada até obter a forma reduzida por linhas (identidade à esquerda), de modo que a solução aparece diretamente na coluna dos termos independentes.]

Passo 3

Primeira coluna (coluna 1): escolhemos o pivô por pivotação parcial.
Valores absolutos na coluna 1:
\lvert 2{,}86\rvert=2{,}86,\; \lvert 6{,}72\rvert=6{,}72,\; \lvert 3{,}10\rvert=3{,}10.
O maior é \lvert 6{,}72\rvert (linha 2). Portanto trocamos a linha 1 com a linha 2.
Após troca R_{1}\leftrightarrow R_{2}:
\begin{pmatrix} 6{,}72 & 17{,}40 & 8{,}18 & | & 23{,}60\\[3pt] 2{,}86 & 6{,}72 & 3{,}10 & | & 8{,}21\\[3pt] 3{,}10 & 8{,}18 & 4{,}00 & | & 12{,}00 \end{pmatrix}]

Passo 4

Zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna usando multiplicadores.
Fórmula do multiplicador: para zerar a entrada da linha i na coluna 1 usamos
m_{i1}=\frac{\text{entrada }(i,1)}{\text{pivô }(1,1)}.ô
Aplicamos:
m_{21}=\frac{2{,}86}{6{,}72}\approx 0{,}4255952381,\qquad m_{31}=\frac{3{,}10}{6{,}72}\approx 0{,}4613095238.
Atualizamos as linhas R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}.
Cálculos (apresento com precisão suficiente para garantir a exatidão prática):
Para R_{2}:
  • coluna 2: 6{,}72- m_{21}\cdot 17{,}40 \approx 6{,}72-7{,}4042380952 \approx -0{,}6842380952
  • coluna 3: 3{,}10- m_{21}\cdot 8{,}18 \approx 3{,}10-3{,}4813690476 \approx -0{,}3813690476
  • termo independente: 8{,}21- m_{21}\cdot 23{,}60 \approx 8{,}21-10{,}0450476190 \approx -1{,}8350476190
Para R_{3}:
  • coluna 2: 8{,}18- m_{31}\cdot 17{,}40 \approx 8{,}18-8{,}0267857143 \approx 0{,}1532142857
  • coluna 3: 4{,}00- m_{31}\cdot 8{,}18 \approx 4{,}00-3{,}7735119048 \approx 0{,}2264880952
  • termo independente: 12{,}00- m_{31}\cdot 23{,}60 \approx 12{,}00-10{,}8869047619 \approx 1{,}1130952381
Matriz após eliminação na coluna 1:
\begin{pmatrix} 6{,}72 & 17{,}40 & 8{,}18 & | & 23{,}60\\[3pt] 0 & -0{,}6842380952 & -0{,}3813690476 & | & -1{,}8350476190\\[3pt] 0 & 0{,}1532142857 & 0{,}2264880952 & | & 1{,}1130952381 \end{pmatrix}]

Passo 5

Segunda coluna: pivotação parcial entre as linhas 2 e 3 (coluna 2). Verificamos os valores absolutos:
\lvert -0{,}6842380952\rvert\approx0{,}6842380952 e \lvert 0{,}1532142857\rvert\approx0{,}1532142857.
O maior é na linha 2, portanto não há troca. Tomamos o pivô a_{22}=-0{,}6842380952.
No Gauss–Jordan é conveniente normalizar o pivô para 1: dividimos a linha 2 por a_{22}:
R_{2}\leftarrow \frac{1}{-0{,}6842380952}R_{2}.
Cálculo (divisão dos elementos da linha 2 por -0{,}6842380952):
  • nova coluna 2: 1
  • nova coluna 3: (-0{,}3813690476)/(-0{,}6842380952)\approx 0{,}5571428571
  • novo termo independente: (-1{,}8350476190)/(-0{,}6842380952)\approx 2{,}6828571429
Portanto linha 2 normalizada:
R_{2}=(\,0,\;1,\;0{,}5571428571\;|\;2{,}6828571429\,).

Passo 6

Zerar as entradas na coluna 2 nas outras linhas (Gauss–Jordan faz zeros acima e abaixo do pivô).
  1. Zerar em R_{1}: R_{1}\leftarrow R_{1}-17{,}40\cdot R_{2}.
  • coluna 3 em R_{1}: 8{,}18-17{,}40\cdot0{,}5571428571\approx 8{,}18-9{,}6942857143\approx -1{,}5142857143
  • termo independente: 23{,}60-17{,}40\cdot2{,}6828571429\approx 23{,}60-46{,}6817142857\approx -23{,}0817142857
    Linha 1 após a operação:
R_{1}=(\,6{,}72,\;0,\;-1{,}5142857143\;|\;-23{,}0817142857\,).
  1. Zerar em R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}-0{,}1532142857\cdot R_{2}.
  • coluna 3 em R_{3}: 0{,}2264880952-0{,}1532142857\cdot0{,}5571428571\approx 0{,}2264880952-0{,}0853622449\approx 0{,}1411258503
  • termo independente: 1{,}1130952381-0{,}1532142857\cdot2{,}6828571429\approx 1{,}1130952381-0{,}4110520408\approx 0{,}7020431973
Linha 3 após a operação:
R_{3}=(\,0,\;0,\;0{,}1411258503\;|\;0{,}7020431973\,).
Matriz atual:
\begin{pmatrix} 6{,}72 & 0 & -1{,}5142857143 & | & -23{,}0817142857\\[3pt] 0 & 1 & 0{,}5571428571 & | & 2{,}6828571429\\[3pt] 0 & 0 & 0{,}1411258503 & | & 0{,}7020431973 \end{pmatrix}]

Passo 7

Terceira coluna (coluna 3): só resta a linha 3 como candidata de pivô. O pivô é a_{33}=0{,}1411258503 (não precisamos trocar linhas).
Normalizamos a linha 3 dividindo por a_{33} para obter pivô 1:
R_{3}\leftarrow \frac{1}{0{,}1411258503}R_{3}.
Cálculo:
  • nova coluna 3 em R_{3}: 1
  • novo termo independente em R_{3}: 0{,}7020431973/0{,}1411258503 \approx 4{,}9745769
Assim:
R_{3}=(\,0,\;0,\;1\;|\;4{,}9745769\,).
Agora zeramos a coluna 3 nas linhas 1 e 2 para obter forma reduzida por linhas:
  1. R_{2}\leftarrow R_{2}-0{,}5571428571\cdot R_{3}.
  • termo independente de R_{2} fica 2{,}6828571429-0{,}5571428571\cdot4{,}9745769\approx 2{,}6828571429-2{,}7715500429\approx -0{,}0886929000
  • coluna 3 fica zero por construção.
  1. R_{1}\leftarrow R_{1}-(-1{,}5142857143)\cdot R_{3}=R_{1}+1{,}5142857143\cdot R_{3}.
  • termo independente de R_{1} fica -23{,}0817142857+1{,}5142857143\cdot4{,}9745769\approx -23{,}0817142857+7{,}5329294571\approx -15{,}5487848286
  • coluna 3 fica zero.
A matriz em forma reduzida por linhas (praticamente identidade à esquerda) é, numericamente:
\begin{pmatrix} 6{,}72 & 0 & 0 & | & -15{,}5487848286\\[3pt] 0 & 1 & 0 & | & -0{,}0886929000\\[3pt] 0 & 0 & 1 & | & 4{,}9745769 \end{pmatrix}]

Passo 8

Agora já faltam apenas normalizar a primeira linha (dividir por 6{,}72) para ter x_{1} diretamente.
Dividindo a linha 1 por 6{,}72:
x_{1}=\frac{-15{,}5487848286}{6{,}72}\approx -2{,}3138059.
As componentes x_{2} e x_{3} já aparecem na matriz reduzida:
  • x_{2}\approx -0{,}0886929000
  • x_{3}\approx 4{,}9745769
(Fizemos todas as operações obedecendo pivotação parcial e reduções de Gauss–Jordan; os valores foram apresentados com precisão suficiente para conferência manual e substituição nas equações originais.)

Resposta

x_{1}\approx -2{,}3138059
x_{2}\approx -0{,}0886929
x_{3}\approx 4{,}9745769

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