Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Jordan com pivotação parcial.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear (três equações, três incógnitas) e pede que ele seja resolvido usando eliminação de Jordan com pivotação parcial:
As tarefas explícitas do enunciado que vamos cumprir: (1) usar eliminação de Jordan (Gauss–Jordan), (2) aplicar pivotação parcial (trocar linhas para que o pivô seja o maior em módulo na coluna), e (3) chegar à solução (x_{1},x_{2},x_{3}).]
Passo 2
Montamos a matriz aumentada inicial e explico rapidamente os conceitos que vamos usar.
Em cada coluna de pivô (coluna 1, depois coluna 2, etc.) escolhemos, entre as linhas disponíveis, a entrada com maior valor absoluto nessa coluna e trocamos a linha atual por essa linha. Isso reduz erros numéricos e evita dividir por números muito pequenos.
Operações de linha permitidas (não mudam o sistema):
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por uma constante não nula,
somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar.
No método de Gauss–Jordan queremos transformar a matriz aumentada até obter a forma reduzida por linhas (identidade à esquerda), de modo que a solução aparece diretamente na coluna dos termos independentes.]
Passo 3
Primeira coluna (coluna 1): escolhemos o pivô por pivotação parcial.
Valores absolutos na coluna 1: \lvert 2{,}86\rvert=2{,}86,\; \lvert 6{,}72\rvert=6{,}72,\; \lvert 3{,}10\rvert=3{,}10.
O maior é \lvert 6{,}72\rvert (linha 2). Portanto trocamos a linha 1 com a linha 2.
Atualizamos as linhas R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}.
Cálculos (apresento com precisão suficiente para garantir a exatidão prática):
Segunda coluna: pivotação parcial entre as linhas 2 e 3 (coluna 2). Verificamos os valores absolutos: \lvert -0{,}6842380952\rvert\approx0{,}6842380952 e \lvert 0{,}1532142857\rvert\approx0{,}1532142857.
O maior é na linha 2, portanto não há troca. Tomamos o pivô a_{22}=-0{,}6842380952.
No Gauss–Jordan é conveniente normalizar o pivô para 1: dividimos a linha 2 por a_{22}:
R_{2}\leftarrow \frac{1}{-0{,}6842380952}R_{2}.
Cálculo (divisão dos elementos da linha 2 por -0{,}6842380952):
nova coluna 2: 1
nova coluna 3: (-0{,}3813690476)/(-0{,}6842380952)\approx 0{,}5571428571
novo termo independente: (-1{,}8350476190)/(-0{,}6842380952)\approx 2{,}6828571429
As componentes x_{2} e x_{3} já aparecem na matriz reduzida:
x_{2}\approx -0{,}0886929000
x_{3}\approx 4{,}9745769
(Fizemos todas as operações obedecendo pivotação parcial e reduções de Gauss–Jordan; os valores foram apresentados com precisão suficiente para conferência manual e substituição nas equações originais.)