Considere A X=B o sistema de equações lineares, sendo A=[rrr-2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6] e B=[r-5 -9 2].
Escreva a igualdade L U=P A, determinando as matrizes L, U e a matriz de permutação P;

Passo 1

Beleza! A questão pede para a gente fatorar a matriz
-2&3&12&1&-44&10&-6
numa forma , onde
  • é a matriz de permutação que registra trocas de linhas (pivotação),
  • é triangular inferior com 1’s na diagonal,
  • é triangular superior.
    Para isso a gente vai usar eliminação de Gauss com pivotamento parcial, anotando os multiplicadores em e as trocas em .

Passo 2

Olha a primeira coluna de P1 ;=; 0&0&1 0&1&0 1&0&0 , P1,A = 4&10&-6 2&1&-4 -2&3&1 : . O maior em valor absoluto é (linha 3). Então a gente troca a linha 1 com a linha 3.
Matriz de permutação dessa troca:

Passo 3

Agora faz eliminação usando U^(1)= 4&10&-6 0&-4&-1 0&8&-2 , L (coluna 1)= 1[3pt] tfrac12[3pt] -tfrac12 como pivô:
  • , então linha 2 linha 2 – ·linha 1;
  • , então linha 3 linha 3 – ·linha 1.
    Fica

Passo 4

Na segunda coluna de P2= 1&0&0 0&0&1 0&1&0 olhamos só as linhas 2 e 3: valores U^(2)= 4&10&-6 0&8&-2 0&-4&-1 e . O maior em módulo é (linha 3), então trocamos linha 2↔3.
Matriz de permutação dessa troca:
Também a gente aplica essa troca nas entradas já preenchidas de (apenas na coluna 1):
antes em tínhamos ,
depois vira .
E em fica

Passo 5

Eliminação na coluna 2 com pivô m32=-48=-tfrac12, linha 3;mapsto;linha 3;-;m32timeslinha 2 :
U= 4&10&-6 0&8&-2 0&0&-2 , L32=m32=-tfrac12
Isso dá

Resposta

Juntando tudo, P= 0&0&1 1&0&0 0&1&0 , L= 1&0&0[3pt] -tfrac12&1&0[3pt] tfrac12&-tfrac12&1 , U= 4&10&-6 0&8&-2 0&0&-2 , , e as matrizes finais são
de modo que .

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