Considere A X=B o sistema de equações lineares, sendo A=[rrr-2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6] e B=[r-5 -9 2].
Resolva o sistema A X=B pelo método de decomposição L U usando a pivotação parcial;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver o sistema
A,X = B, A = -2 & 3 & 12 & 1 & -44 & 10 & -6, B = -5-92
usando decomposição LU com pivotação parcial.
Conteúdo: sistemas lineares, fatoração LU, pivotação (troca de linhas para escolher o maior “pivô”), eliminação de Gauss e substituição direta/inversa.
O que vamos precisar:
  1. Montar tal que .
  2. Calcular .
  3. Resolver (substituição direta).
  4. Resolver (substituição inversa).

Passo 2

— Fatoração LU com pivotação parcial —
  1. Na coluna 1 de P^(1) = 0&0&10&1&01&0&0>, A^(1) = 4&10&-62&1&-4-2&3&1, L^(1) = I os candidatos a pivô (em módulo) são L = 1&0&00.5&1&0-0.5&0&1>, U = 4&10&-60&-4&-10&8&-2 . O maior é 4 (linha 3), então trocamos linha 1↔3. Isso gera
  1. Eliminamos abaixo do pivô L = 1&0&0-0.5&1&00.5&0&1>, U = 4&10&-60&8&-20&-4&-1> :
    • L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0.5 & -0.5 & 1 >, U = 4 & 10 & -6 0 & 8 & -2 0 & 0 & -2 ,
      nova linha 2 = linha 2 – 0.5×linha 1 ⇒ P = 0&0&10&1&01&0&0> .
    • ,
      nova linha 3 = linha 3 – (–0.5)×linha 1 ⇒ .
      Atualizamos
  1. Agora coluna 2: entre linhas 2 e 3 temos e . O maior é 8 (linha 3), então trocamos linha 2↔3 em e em (nas colunas já processadas, aqui só col 1):
  1. Eliminamos abaixo de :
    • ,
      nova linha 3 = linha 3 – (–0.5)×linha 2 ⇒ .
      Agora
.
]
E a permutação total é

Passo 3

— Substituição direta P B = 0&0&10&1&01&0&0>-5-92 = 2-9-5
Primeiro calculamos 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0.5 & -0.5 & 1 y1y2y3 = 2-9-5 :

Agora resolvemos
[
Y = 2-8-10

.
]
Passo a passo:
y₁ = 2.
–0.5·y₁ + y₂ = –9 ⇒ y₂ = –9 + 0.5·2 = –8.
0.5·y₁ –0.5·y₂ + y₃ = –5 ⇒ 1 – (–0.5·(–8)=4) + y₃ = –5 ⇒ 5 + y₃ = –5 ⇒ y₃ = –10.
Logo

Passo 4

— Substituição inversa 4 & 10 & -6 0 & 8 & -2 0 & 0 & -2 x1x2x3 = 2-8-10
Resolvemos
[

.
]
Da última equação:

Da segunda:

Da primeira:

Resposta

X = x1x2x3 = 59/81/45 approx 7.3750.255

Exercícios relacionados