usando decomposição LU com pivotação parcial.
Conteúdo: sistemas lineares, fatoração LU, pivotação (troca de linhas para escolher o maior “pivô”), eliminação de Gauss e substituição direta/inversa.
O que vamos precisar:
Montar tal que .
Calcular .
Resolver (substituição direta).
Resolver (substituição inversa).
Passo 2
— Fatoração LU com pivotação parcial —
Na coluna 1 de P^(1) = 0&0&10&1&01&0&0>, A^(1) = 4&10&-62&1&-4-2&3&1, L^(1) = I os candidatos a pivô (em módulo) são L = 1&0&00.5&1&0-0.5&0&1>, U = 4&10&-60&-4&-10&8&-2 . O maior é 4 (linha 3), então trocamos linha 1↔3. Isso gera
Eliminamos abaixo do pivô L = 1&0&0-0.5&1&00.5&0&1>, U = 4&10&-60&8&-20&-4&-1> :
L = 1 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 0.5 & -0.5 & 1 >, U = 4 & 10 & -6 0 & 8 & -2 0 & 0 & -2 ,
nova linha 2 = linha 2 – 0.5×linha 1 ⇒ P = 0&0&10&1&01&0&0> .
,
nova linha 3 = linha 3 – (–0.5)×linha 1 ⇒ .
Atualizamos
Agora coluna 2: entre linhas 2 e 3 temos e . O maior é 8 (linha 3), então trocamos linha 2↔3 em e em (nas colunas já processadas, aqui só col 1):
Eliminamos abaixo de :
,
nova linha 3 = linha 3 – (–0.5)×linha 2 ⇒ .
Agora