Considere A X=B o sistema de equações lineares, sendo A=[rrr-2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6] e B=[r-5 -9 2].
Seria possível resolver o sistema A X=B pelo método da decomposição de Cholesky? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um sistema linear
A X = B
com
A = -2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6 , B = -5-92
e pergunta: “Dá pra resolver esse sistema usando decomposição de Cholesky?”
O conteúdo aqui é Álgebra Linear (métodos de resolução de sistemas) e, mais especificamente, a decomposição de Cholesky. Para aplicar Cholesky, precisamos que a matriz seja
  1. simétrica ( )
  2. definida positiva (ou seja, para todo vetor não-nulo , ).

Passo 2

Vamos checar a condição de simetria. A definição diz que uma matriz A = A^T é simétrica se
A^T = -2 & 2 & 4 3 & 1 & 10 1 & -4 & -6
Então vamos calcular a transposta de A = -2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6 :
Compare com a matriz original:
Como você vê, o elemento em não bate com o elemento em . Logo, .

Passo 3

Como a matriz não é simétrica, já falhou a primeira condição para usarmos Cholesky. Nem precisa entrar no papo de definida-positiva, porque o método de Cholesky simplesmente não vale para matrizes não simétricas.

Resposta

Não é possível resolver pelo método da decomposição de Cholesky, pois a matriz não é simétrica.

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