Usando o método iterativo de Gauss-Seidel, determine uma solução aproximada para o seguinte sistema de equações lineares,
rr 10 x1-x2+2 x3= & 6 -x1+11 x2-x3+3 x4= & 25 2 x1-x2+10 x3-x4= & -11 3 x2-x3+8 x4= & 15
com aproximação inicial x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0]^T e precisão varepsilon<10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema
10x1 - x2 + 2x3 = 6, -,x1 + 11x2 - x3 + 3x4 = 25, 2x1 - x2 + 10x3 - x4 = -11, 3x2 - x3 + 8x4 = 15,
usando o método iterativo de Gauss–Seidel.
Conteúdo: método iterativo para sistemas lineares.
O que vamos precisar:
  • Isolar cada variável .
  • Chute inicial .
  • Atualizar em ciclos até que a diferença entre iterações seja menor que .

Passo 2

  1. Isolando cada x1 &= 6 + x2 - 2x310, x2 &= 25 + x1 + x3 - 3x411, x3 &= -11 - 2x1 + x2 + x410, x4 &= 15 - 3x2 + x38 :
  1. Chute inicial .
  2. Critério de parada:
  3. No Gauss–Seidel a cada atualização de já usamos esse valor novo para calcular as próximas componentes.

Passo 3

Primeira iteração ( x1^(1) &= tfrac6 + 0 - 2cdot010 = 0.6, x2^(1) &= tfrac25 + 0.6 + 0 - 3cdot011 approx 2.32727, x3^(1) &= tfrac-11 - 2cdot0.6 + 2.32727 + 010 approx -0.98727, x4^(1) &= tfrac15 - 3cdot2.32727 + (-0.98727)8 approx 0.87886 ), usando :
Diferença máxima , continua.

Passo 4

Segunda e terceira iterações:
x1^(2) &approx 1.03018, & x2^(2) &approx 2.03694, x3^(2) &approx -1.01446, & x4^(2) &approx 0.98434 :
x1^(3) &approx 1.00659, & x2^(3) &approx 2.00356, x3^(3) &approx -1.00253, & x4^(3) &approx 0.99835
:
Diferenças ainda .

Passo 5

Quarta iteração x1^(4) &= tfrac6 + 2.00356 - 2(-1.00253)10 approx 1.00086, x2^(4) &= tfrac25 + 1.00086 + (-1.00253) -3cdot0.9983511 approx 2.00030, x3^(4) &= tfrac-11 -2cdot1.00086 + 2.00030 +0.9983510 approx -1.00031, x4^(4) &= tfrac15 -3cdot2.00030 +(-1.00031)8 approx 0.99985 :
Agora

então a gente para.

Resposta

A solução aproximada é
x approx 1.00086 2.00030 -1.00031 0.99985

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