Usando o método iterativo de Gauss-Seidel, determine uma solução aproximada para o seguinte sistema de equações lineares,
com aproximação inicial
x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0]^T e precisão
varepsilon<10^-2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema
usando o método iterativo de Gauss–Seidel.
Conteúdo: método iterativo para sistemas lineares.
O que vamos precisar:
Conteúdo: método iterativo para sistemas lineares.
O que vamos precisar:
- Isolar cada variável
. - Chute inicial
. - Atualizar em ciclos até que a diferença entre iterações seja menor que
.
Passo 2
- Isolando cada
:x1 &= 6 + x2 - 2x310, x2 &= 25 + x1 + x3 - 3x411, x3 &= -11 - 2x1 + x2 + x410, x4 &= 15 - 3x2 + x38
- Chute inicial
. - Critério de parada:
- No Gauss–Seidel a cada atualização de
já usamos esse valor novo para calcular as próximas componentes.
Passo 3
Primeira iteração (
x1^(1) &= tfrac6 + 0 - 2cdot010 = 0.6, x2^(1) &= tfrac25 + 0.6 + 0 - 3cdot011 approx 2.32727, x3^(1) &= tfrac-11 - 2cdot0.6 + 2.32727 + 010 approx -0.98727, x4^(1) &= tfrac15 - 3cdot2.32727 + (-0.98727)8 approx 0.87886 ), usando
:
Diferença máxima
, continua.
Passo 4
Segunda e terceira iterações:
x1^(2) &approx 1.03018, & x2^(2) &approx 2.03694, x3^(2) &approx -1.01446, & x4^(2) &approx 0.98434 :
Diferenças ainda
.
Passo 5
Quarta iteração
x1^(4) &= tfrac6 + 2.00356 - 2(-1.00253)10 approx 1.00086, x2^(4) &= tfrac25 + 1.00086 + (-1.00253) -3cdot0.9983511 approx 2.00030, x3^(4) &= tfrac-11 -2cdot1.00086 + 2.00030 +0.9983510 approx -1.00031, x4^(4) &= tfrac15 -3cdot2.00030 +(-1.00031)8 approx 0.99985 :
Agora
então a gente para.
então a gente para.
Resposta
A solução aproximada é