Analise a estabilidade para
\frac{d \varphi}{d t}=-k\left(\varphi-\varphi_{A}\right),
onde \varphi e \varphi_{A} são constantes. Tenha em vista a aplicação de Euler explícito.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
\frac{d\varphi}{dt} = -k\bigl(\varphi - \varphi_A\bigr),
com k e \varphi_A constantes. A tarefa é: analisar a estabilidade do sistema (ou seja, do equilíbrio) e também considerar a aplicação do método de Euler explícito ao problema. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial dada acima.
  • k é uma constante (pode ser positiva, negativa ou nula).
  • \varphi_A é uma constante (valor de equilíbrio candidato).
  • Devemos estudar tanto a estabilidade do sistema contínuo quanto a estabilidade do esquema numérico de Euler explícito aplicado a essa equação.

Passo 2

Identificar pontos de equilíbrio (estado estacionário).
Um ponto de equilíbrio \varphi^* é um valor constante tal que, se \varphi(t)=\varphi^* para todo t, então a derivada é zero. Logo devemos resolver
0 = -k\bigl(\varphi^* - \varphi_A\bigr).
As soluções dessa equação são os pontos que anulam o lado direito. Como k e \varphi_A são constantes, vemos imediatamente que qualquer \varphi^* que satisfaça
\varphi^* = \varphi_A
é um ponto de equilíbrio. Portanto o sistema tem exatamente um equilíbrio: \varphi=\varphi_A.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para entender o comportamento em torno do equilíbrio (solução explícita).
A equação é linear e separável; podemos reescrever como
\frac{d\varphi}{dt} = -k\varphi + k\varphi_A.
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. A solução geral pode ser obtida por método padrão (variável separada ou fator integrante). Vou mostrar de forma direta: considere a variável de erro
e(t) \coloneqq \varphi(t)-\varphi_A.
Substituindo na equação,
\frac{d e}{dt} = \frac{d\varphi}{dt} - 0 = -k(\varphi-\varphi_A) = -k e.
Agora temos a equação simples \dfrac{d e}{dt} = -k e, cuja solução é
e(t) = e(0)\,e^{-k t},
onde e(0)=\varphi(0)-\varphi_A é a condição inicial para o erro. Voltando a \varphi,
\varphi(t) = \varphi_A + \bigl(\varphi(0)-\varphi_A\bigr)\,e^{-k t}.
Esta expressão mostra explicitamente como a solução se comporta com o tempo, dependendo do sinal de k.

Passo 4

Concluir a estabilidade do sistema contínuo a partir da solução.
Usamos a solução \varphi(t)=\varphi_A + (\varphi(0)-\varphi_A)e^{-k t}. Analise por casos no sinal de k:
  • Se k>0: então e^{-k t}\to 0 quando t\to+\infty. Assim \varphi(t)\to\varphi_A para qualquer condição inicial \varphi(0). O equilíbrio \varphi_A é assintoticamente estável (atraente).
  • Se k=0: então a equação reduz a \dfrac{d\varphi}{dt}=0, logo \varphi(t)=\varphi(0) constante. O ponto \varphi_A é neutro: não há atração (se \varphi(0)=\varphi_A permanece lá; caso contrário permanece afastado).
  • Se k<0: então e^{-k t}=e^{|k|t} cresce exponencialmente quando t\to+\infty. Assim pequenas perturbações crescem e \varphi(t) afasta-se de \varphi_A. O equilíbrio é instável.

Passo 5

Apresentar o método de Euler explícito aplicado à equação (montar o esquema).
O método de Euler explícito para \dfrac{d\varphi}{dt}=f(\varphi) com passo de tempo \Delta t dá a iteração
\varphi^{n+1} = \varphi^n + \Delta t\, f(\varphi^n).
Aqui f(\varphi) = -k(\varphi - \varphi_A). Substituindo,
\varphi^{n+1} = \varphi^n + \Delta t\bigl[-k(\varphi^n - \varphi_A)\bigr] = \varphi^n - k\Delta t\,(\varphi^n - \varphi_A).
Reorganizando,
\varphi^{n+1} = (1 - k\Delta t)\varphi^n + k\Delta t\,\varphi_A.

Passo 6

Estudar a estabilidade do esquema discreto via o erro e o fator de amplificação.
Defina o erro discreto e^n \coloneqq \varphi^n - \varphi_A. Subtraindo \varphi_A da iteração obtemos
e^{n+1} = \varphi^{n+1}-\varphi_A = (1 - k\Delta t)\varphi^n + k\Delta t\,\varphi_A - \varphi_A.
Simplificando usando e^n=\varphi^n-\varphi_A,
e^{n+1} = (1 - k\Delta t)e^n.
Portanto o erro é multiplicado a cada passo pelo fator de amplificação
G \coloneqq 1 - k\Delta t.
A estabilidade numérica (decaimento de erros, i.e., e^n\to 0 quando n\to\infty) exige que |G|<1 (condição de estabilidade assintótica do esquema linear). Agora analisamos por casos do sinal de k.

Passo 7

Derivar a condição de estabilidade em termos de k e \Delta t e comentar casos especiais.
  • Caso k>0: então G=1-k\Delta t. A condição |G|<1 equivale a
    \left|1-k\Delta t\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 < 1-k\Delta t < 1.
    Resolvendo as desigualdades:
    -1 < 1-k\Delta t \Rightarrow k\Delta t < 2,
    e
    1-k\Delta t < 1 \Rightarrow -k\Delta t < 0,
    que é sempre verdadeira para k>0 e \Delta t>0. Assim a condição principal é
    0 < \Delta t < \frac{2}{k}.
    Se \Delta t=\dfrac{2}{k} então G=-1 e o esquema é marginalmente estável (erro oscila com amplitude constante). Se \Delta t>\dfrac{2}{k} então |G|>1 e o esquema é instável (erros crescem em módulo, com alternância de sinal quando G< -1).
  • Caso k=0: então G=1. O esquema mantém o erro constante ( e^{n+1}=e^n); é neutro (não decai nem cresce).
  • Caso k<0: escrevendo k=-|k| com |k|>0, obtemos G=1+|k|\Delta t>1 para qualquer \Delta t>0. Assim |G|>1 e o esquema é sempre instável (o erro cresce exponencialmente com n). Em outras palavras, se o sistema contínuo já é instável ( k<0), o esquema explícito também produz instabilidade crescente.

Passo 8

Interpretação prática e recomendações para prova (forma rápida de lembrar).
  • Equilíbrio contínuo: \varphi=\varphi_A.
    • Estável assintoticamente se \,k>0.
    • Neutro se \,k=0.
    • Instável se \,k<0.
  • Esquema de Euler explícito: fator de amplificação G=1-k\Delta t.
    • Para k>0 o esquema é estável se e somente se \,0<\Delta t<\dfrac{2}{k} (com \Delta t=\dfrac{2}{k} marginal com oscilações).
    • Para k\le 0 não há decaimento do erro pelo esquema ( k=0 neutro, k<0 instável).
Uma forma de decorar: o contínuo tem termo exponencial e^{-kt} — sinal de k diz se decai ou cresce. No discreto, o exponencial é substituído por potência de G, então exija |G|<1 para decaimento.

Resposta

Equilíbrio: \varphi=\varphi_A.\n
Contínuo: assintoticamente estável se k>0; neutro se k=0; instável se k<0.\n
Euler explícito: fator de amplificação G=1-k\Delta t. Estabilidade numérica exige \left|1-k\Delta t\right|<1. Para k>0 isso dá 0<\Delta t<\dfrac{2}{k} (com \Delta t=\dfrac{2}{k} marginal); para k=0 neutro; para k<0 o esquema é instável.

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