Analise a estabilidade para
onde
e
são constantes. Tenha em vista a aplicação de Euler explícito.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
com
e
constantes. A tarefa é: analisar a estabilidade do sistema (ou seja, do equilíbrio) e também considerar a aplicação do método de Euler explícito ao problema. As informações relevantes são:
- A equação diferencial dada acima.
-
é uma constante (pode ser positiva, negativa ou nula). -
é uma constante (valor de equilíbrio candidato). - Devemos estudar tanto a estabilidade do sistema contínuo quanto a estabilidade do esquema numérico de Euler explícito aplicado a essa equação.
Passo 2
Identificar pontos de equilíbrio (estado estacionário).
Um ponto de equilíbrio é um valor constante tal que, se
para todo
, então a derivada é zero. Logo devemos resolver
Um ponto de equilíbrio
As soluções dessa equação são os pontos que anulam o lado direito. Como
e
são constantes, vemos imediatamente que qualquer
que satisfaça
é um ponto de equilíbrio. Portanto o sistema tem exatamente um equilíbrio:
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para entender o comportamento em torno do equilíbrio (solução explícita).
A equação é linear e separável; podemos reescrever como
A equação é linear e separável; podemos reescrever como
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. A solução geral pode ser obtida por método padrão (variável separada ou fator integrante). Vou mostrar de forma direta: considere a variável de erro
Substituindo na equação,
Agora temos a equação simples
, cuja solução é
onde
é a condição inicial para o erro. Voltando a
,
Esta expressão mostra explicitamente como a solução se comporta com o tempo, dependendo do sinal de
.
Passo 4
Concluir a estabilidade do sistema contínuo a partir da solução.
Usamos a solução . Analise por casos no sinal de
:
Usamos a solução
- Se
: então quando . Assim para qualquer condição inicial . O equilíbrio é assintoticamente estável (atraente). - Se
: então a equação reduz a , logo constante. O ponto é neutro: não há atração (se permanece lá; caso contrário permanece afastado). - Se
: então cresce exponencialmente quando . Assim pequenas perturbações crescem e afasta-se de . O equilíbrio é instável.
Passo 5
Apresentar o método de Euler explícito aplicado à equação (montar o esquema).
O método de Euler explícito para com passo de tempo
dá a iteração
O método de Euler explícito para
Aqui
. Substituindo,
Reorganizando,
Passo 6
Estudar a estabilidade do esquema discreto via o erro e o fator de amplificação.
Defina o erro discreto . Subtraindo da iteração obtemos
Defina o erro discreto . Subtraindo
Simplificando usando
,
Portanto o erro é multiplicado a cada passo pelo fator de amplificação
A estabilidade numérica (decaimento de erros, i.e.,
quando
) exige que
(condição de estabilidade assintótica do esquema linear). Agora analisamos por casos do sinal de
.
Passo 7
Derivar a condição de estabilidade em termos de
e
e comentar casos especiais.
-
Caso
: então . A condição equivale a Resolvendo as desigualdades:eque é sempre verdadeira parae . Assim a condição principal é Seentão e o esquema é marginalmente estável (erro oscila com amplitude constante). Se então e o esquema é instável (erros crescem em módulo, com alternância de sinal quando ). -
Caso
: então . O esquema mantém o erro constante ( ); é neutro (não decai nem cresce). -
Caso
: escrevendo com , obtemos para qualquer . Assim e o esquema é sempre instável (o erro cresce exponencialmente com ). Em outras palavras, se o sistema contínuo já é instável ( ), o esquema explícito também produz instabilidade crescente.
Passo 8
Interpretação prática e recomendações para prova (forma rápida de lembrar).
-
Equilíbrio contínuo:
. - Estável assintoticamente se
. - Neutro se
. - Instável se
.
- Estável assintoticamente se
-
Esquema de Euler explícito: fator de amplificação
. - Para
o esquema é estável se e somente se (com marginal com oscilações). - Para
não há decaimento do erro pelo esquema ( neutro, instável).
- Para
Uma forma de decorar: o contínuo tem termo exponencial
— sinal de
diz se decai ou cresce. No discreto, o exponencial é substituído por potência de
, então exija
para decaimento.
Resposta
Equilíbrio:
.\n
Contínuo: assintoticamente estável se ; neutro se
; instável se
.\n
Euler explícito: fator de amplificação . Estabilidade numérica exige
. Para
isso dá
(com
marginal); para
neutro; para
o esquema é instável.
Contínuo: assintoticamente estável se
Euler explícito: fator de amplificação