A sequência x^(k)k=0^+infty definida por
x^(k+1)=P x^(k)+c
(e associada a algum método iterativo para sistemas lineares) é convergente para a solução x^* de um sistema linear A x=b se, para alguma norma matricial |cdot|, tivermos |P|<1. Suponha que
P=[ccc 0 & -12 & 35 110 & 0 & 310 -45 & 110 & 0 ]
Verifique se o critério de convergência mencionado acima é satisfeito para as normas matriciais |cdot|1 e |cdot|infty.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a iteração
x^(k+1) = P,x^(k) + c
converge se, pra alguma norma matricial P = 0 & -tfrac12 & tfrac35 tfrac110 & 0 & tfrac310 -tfrac45 & tfrac110 & 0 , a gente tiver . Aqui o é
Conteúdo: norma matricial induzida (norma-1 e norma-∞) e critério de convergência de métodos iterativos.
O que vamos precisar:
• Definição de norma 1: .
• Definição de norma ∞: .
• Calcular as somas de cada coluna (para ) e cada linha (para ) e ver se é <1.

Passo 2

Calcular |0| + l|tfrac110r| + l|-tfrac45r| = 0 + 0.1 + 0.8 = 0.9 . A norma-1 é o máximo da soma das colunas em valor absoluto.
Coluna 1:
l|-tfrac12r| + |0| + l|tfrac110r| = 0.5 + 0 + 0.1 = 0.6
Coluna 2:
l|tfrac35r| + l|tfrac310r| + |0| = 0.6 + 0.3 + 0 = 0.9
Coluna 3:
|P|1 = max0.9,,0.6,,0.9 = 0.9 < 1
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Passo 3

Calcular |0| + l|-tfrac12r| + l|tfrac35r| = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1 . A norma-∞ é o máximo da soma das linhas em valor absoluto.
Linha 1:
l|tfrac110r| + |0| + l|tfrac310r| = 0.1 + 0 + 0.3 = 0.4
Linha 2:
l|-tfrac45r| + l|tfrac110r| + |0| = 0.8 + 0.1 + 0 = 0.9
Linha 3:
|P|infty = max1.1,,0.4,,0.9 = 1.1 > 1
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Resposta

, ou seja, o critério de convergência vale para a norma-1.
, ou seja, o critério não vale para a norma-∞.

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