Considere o sistema linear:
[cc 16 & 5 3 & 2,5 ][l x1 x2 ]=[c 21 5,5 ]
Trabalhando com arredondamento para dois dígitos significativos em todas as operações:
a) Resolva o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss. Resposta: x=(1,0 0,94)^t
b) Faça uma iteração para refinar a solução obtida no item a). Resposta: x=(1,0 1,0)^t

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver um sistema 2×2 usando eliminação de Gauss e depois fazer uma iteração de refinamento. A gente vai trabalhar com arredondamento para dois dígitos significativos em cada operação. O conteúdo é Álgebra Linear (el eliminação de Gauss e refinamento iterativo) e a “ferramenta” extra é controlar o arredondamento direitinho a cada passo.

Passo 2

Vamos ao método de Gauss, passo a passo, sempre arredondando para 2 dígitos significativos.
  1. Escreve o sistema:
16,x1 + 5,x2 = 21, 3,x1 + 2,5,x2 = 5,5
  1. Eliminar m = 316 = 0,1875 ;longrightarrow;0,19(2 dígitos) da segunda equação. O multiplicador é
2,5 - 0,19cdot5 = 2,5 - 0,95 = 1,55 ;longrightarrow;1,6 í
  1. Atualiza a segunda linha:
    • Coeficiente de 5,5 - 0,19cdot21 = 5,5 - 3,99 = 1,51 ;longrightarrow;1,5 : 1,6,x2 = 1,5
    • Lado direito: x2 = 1,51,6 = 0,9375 ;longrightarrow;0,94
    Agora a segunda equação ficou
    16,x1 + 5,(0,94) = 21 ;Longrightarrow; 16,x1 = 21 - 4,7 = 16,3 ;longrightarrow;16 ;Longrightarrow; x1 = 1616 = 1,0
  2. Resolve x^(0) = 1,00,94 :
  1. Volta na primeira equação para achar :
No fim temos

Passo 3

Agora faz a iteração de refinamento:
  1. Calcula o resíduo 16&53&2,5 1,00,94 = 16+5cdot0,94 3+2,5cdot0,94 = 20,75,35 ;longrightarrow; 215,4 , sempre arredondando:
    • r = 215,5 - 215,4 = 00,1 :
      [
      1,6,e2 = 0,1 ;Longrightarrow; e2 = 0,11,6 = 0,0625 ;longrightarrow;0,063
      16,e1 + 5,e2 = 0 ;Longrightarrow; 16,e1 = -5cdot0,063 = -0,315 ;longrightarrow;-0,32 ;Longrightarrow; e1 = -0,3216 = -0,020

      x^(1) = x^(0) + e = 1,00,94 + -0,0200,063 = 0,981,003 ;longrightarrow; 1,01,0


      ;\longrightarrow;
      .
      ]
    • Então
      [
      r =

      .
      ]
  2. Resolve pelo mesmo Gauss (usando os mesmos passos anteriores para , mas agora o lado direito é ):
    • Multiplicador de novo.
    • Segunda equação:
    • De volta na primeira:
  3. Atualiza a solução:

[
x^{(1)} = x^{(0)} + e
=
+


;\longrightarrow;
.
]

Resposta

a) Pela eliminação de Gauss (2 dígitos significativos)

b) Após uma iteração de refinamento

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