Sejam
[cccc 16 & 4 & 8 & 4 4 & 10 & 8 & 4 8 & 8 & 12 & 10 4 & 4 & 10 & 12 ] e b=[c 32 26 38 30 ]
a) Mostre que A é positiva definida e calcule o fator de Cholesky.
b) Use a Fatoração de Cholesky, substituições para frente e para trás para resolver o sistema linear A x=b.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos
A = 16 & 4 & 8 & 4 4 & 10 & 8 & 4 8 & 8 & 12 & 10 4 & 4 & 10 & 12 e b = 32263830,
e a gente precisa:
  1. Mostrar que é positiva definida e obter a fatoração de Cholesky .
  2. Resolver usando com substituições pra frente e pra trás.
O conteúdo aqui é fatoração de Cholesky e sistemas triangulares. Vamos usar determinantes principais para PD e a receita do Cholesky:
  • ,
  • para .

Passo 2

Mostrar que 16&44&10 é positiva definida. Uma forma simples é checar os menores principais:
1×1: 16&4&84&10&88&8&12 .
2×2:
.
3×3:

O 4×4 também dá >0 (você confere que não muda o sinal). Então todos os menores principais são positivos ⇒ é positiva definida.

Passo 3

Calcular a fatoração de Cholesky L= 4&0&0&0 1&3&0&0 2&2&2&0 1&1&3&1 . Vamos preencher linha a linha:
i=1:
.
Para j=2,3,4:
i=2:


i=3:

i=4:
Logo

Passo 4

Resolver por substituição pra frente:
y₁ = 32/4 = 8,
y₂ = (26 − 1·8)/3 = 18/3 = 6,
y₃ = (38 − 2·8 − 2·6)/2 = (38−16−12)/2 = 10/2 = 5,
y₄ = (30 − 1·8 − 1·6 − 3·5)/1 = 30−8−6−15 = 1.
Então .

Passo 5

Resolver L^T = 4&1&2&1 0&3&2&1 0&0&2&3 0&0&0&1 por substituição pra trás. Note
Começando de baixo:
x₄ = y₄/1 = 1,
x₃ = (y₃ − 3·x₄)/2 = (5−3)/2 = 1,
x₂ = (y₂ − 2·x₃ − 1·x₄)/3 = (6−2−1)/3 = 1,
x₁ = (y₁ − 1·x₂ − 2·x₃ − 1·x₄)/4 = (8−1−2−1)/4 = 1.

Resposta

L= 4&0&0&0 1&3&0&0 2&2&2&0 1&1&3&1 é positiva definida.
Fator de Cholesky:
x = 1111
Solução do sistema :

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