Considere o sistema linear abaixo:
rr x1+x2+x3= & 6 x1+2 x2+2 x3= & 9 2 x1+x2+3 x3= & 11
  • Resolva-o pelo método de Eliminação de Gauss, considerando três casas decimais em todas as operações.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um sistema linear de três equações e três incógnitas:
x1+x2+x3=6 x1+2x2+2x3=9 2x1+x2+3x3=11
O conteúdo é Eliminação de Gauss: a ideia é montar a matriz aumentada, zerar tudo abaixo dos pivôs (os elementos da diagonal principal) usando operações entre linhas e, no fim, resolver por substituição reversa. Vamos precisar saber fazer operações do tipo e manter sempre três casas decimais.

Passo 2

Primeiro, viramos o sistema em matriz aumentada e escrevemos com três casas decimais:
[ccc|c 1.000 & 1.000 & 1.000 & 6.000 1.000 & 2.000 & 2.000 & 9.000 2.000 & 1.000 & 3.000 & 11.000 ]
Aqui cada linha é uma equação e a barra separa o vetor de resultados.

Passo 3

Agora vamos zerar a coluna 1 embaixo do pivô 1.000-1.000=0.000, 2.000-1.000=1.000, 2.000-1.000=1.000, 9.000-6.000=3.000 (que está em 2.000-2.000cdot1.000=0.000, 1.000-2.000cdot1.000=-1.000, 3.000-2.000cdot1.000=1.000, 11.000-2.000cdot6.000=-1.000 ):
  • [ccc|c 1.000 & 1.000 & 1.000 & 6.000 0.000 & 1.000 & 1.000 & 3.000 0.000 & -1.000 & 1.000 & -1.000 ] :
  • :
Fica a matriz:

Passo 4

Seguimos zerando embaixo do próximo pivô ( 0.000+0.000=0.000, -1.000+1.000=0.000, 1.000+1.000=2.000, -1.000+3.000=2.000 ):
  • [ccc|c 1.000 & 1.000 & 1.000 & 6.000 0.000 & 1.000 & 1.000 & 3.000 0.000 & 0.000 & 2.000 & 2.000 ] :
Agora a matriz tá triangular superior:

Passo 5

Chegou a hora da substituição reversa:
  1. Da última linha: .
  2. Da segunda linha:
    .
  3. Da primeira linha:
    .

Resposta

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