Resolva os sistemas lineares pelo método de Eliminação de Gauss retendo três casas decimais. Mostre os cálculos e o resultado final.
6 x1+2 x2-x3=7 2 x1+4 x2+x3=7 3 x1+2 x2+8 x3=13
Solução: x=[lll1 & 1 & 1]^t.
Esta é a solução exata e pode diferir ligeiramente da sua.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver o sistema
6x1+2x2-x3=7, 2x1+4x2+x3=7, 3x1+2x2+8x3=13
usando o método de Eliminação de Gauss e retendo três casas decimais.
Conteúdo: eliminação de Gauss (operações elementares de linha para zerar coeficientes abaixo da diagonal), formando matriz triangular superior, e depois substituição retroativa para achar cada xi.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada e escolhemos o pivot a11=6:
[ccc|c 6 & 2 & -1 & 7 2 & 4 & 1 & 7 3 & 2 & 8 &13 ]
Agora, zeramos os elementos abaixo de a11:
  • Para a linha 2: m21=26=0.333; R2 R2 - m21R1
    Calculando cada entrada até 3 casas:
    a'21&=2-0.333cdot6=0, a'22&=4-0.333cdot2=3.333, a'23&=1-0.333cdot(-1)=1.333, b'2 &=7-0.333cdot7=4.667
    - Para a linha 3:
    m31=36=0.500; R3 R3 - m31R1 a'31&=3-0.5cdot6=0, a'32&=2-0.5cdot2=1.000, a'33&=8-0.5cdot(-1)=8.500, b'3 &=13-0.5cdot7=9.500
A matriz fica
[ccc|c 6 & 2 & -1 & 7 0 & 3.333 & 1.333 &4.667 0 & 1.000 & 8.500 &9.500 ]

Passo 3

Agora usamos o pivot a22=3.333 pra zerar o a32:
m32=1.0003.333=0.300; R3 R3 - m32R2
a''32&=1.000-0.300cdot3.333=0, a''33&=8.500-0.300cdot1.333=8.100, b''3 &=9.500-0.300cdot4.667=8.100
Agora a matriz está em forma triangular superior:
[ccc|c 6 & 2 & -1 &7 0 &3.333 &1.333 &4.667 0 &0 &8.100 &8.100 ]

Passo 4

Fazendo substituição retroativa:
  1. Da 3ª linha: 8.100,x3=8.100Rightarrow x3=1.000
    2) Da 2ª linha:
    $$3.333,x_{2}+1.333,x_{3}=4.667;\Rightarrow;3.333,x_{2}=4.667-1.333=3.334;\Rightarrow;x_{2}=\frac{3.334}{3.333}=1.000. 3.333,x2+1.333,x3=4.667 ;Rightarrow;3.333,x2=4.667-1.333=3.334 ;Rightarrow;x2=3.3343.333=1.000ª6,x_{1}+2,x_{2}-x_{3}=7;\Rightarrow;6,x_{1}+2\cdot1.000-1.000=7
    ;\Rightarrow;6,x_{1}=6;\Rightarrow;x_{1}=1.000.$$

Resposta

x=x1x2x3 =1.0001.0001.000

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