Para cada um dos sistemas abaixo verificaremos as condições de convergência para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
I. Verificar a condição de convergência de matriz diagonal estritamente dominante.
II. Se o item I) não for verificado, tente reordenar as linhas e diga se é possível.
III. Verifique a condição de convergência da norma, tal verificação deve ser feita para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel separadamente.
IV. Escolha um dos métodos (Jacobi ou Gauss-Seidel) para resolver um sistema linear levando em consideração a tolerância varepsilon<4 times 10^-2 ou atingir a 5 iterações.
2 x-3 y+10 z=-1
5 x+2 y+z=7

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sisteminha com 2 equações e 3 incógnitas:
2x - 3y + 10z = -1, 5x + 2y + z = 7
O conteúdo é Métodos Iterativos (Jacobi e Gauss-Seidel). Para ver se eles convergem, a gente normalmente checa:
  1. dominância diagonal;
  2. se dá pra reordenar linhas;
  3. espectro (norma ou raio espectral) das matrizes de iteração;
  4. se possível, faz iterações até tol. ou limite de vezes.

Passo 2

Primeiro problema: o sistema não é quadrado (são 2×3). Para Jacobi/Gauss-Seidel precisamos de uma matriz A de coeficientes ntimes n. Aqui A seria 2times3, o que não bate. Então já vimos que não dá pra aplicar direto nenhum dos dois métodos iterativos porque não temos tantas equações quanto incógnitas.

Passo 3

Mesmo que tentássemos enxergar a matriz A=2 & -3 & 105 & 2 & 1, não faz sentido falar de “linha i” pra reordenar de um jeito que vire matriz quadrada. Não existe permutação de linhas que transforme 2times3 em 3times3. Então a parte de reordenar também não rola.

Passo 4

Pra verificar convergência via norma ou raio espectral a gente precisa montar as matrizes de iteração (por exemplo GJ=D^-1(L+U) para Jacobi), mas como não temos D invertível de mesma dimensão das incógnitas (são 3 variáveis, mas só 2 linhas), não há como formar GJ ou GGS. Logo, não faz sentido calcular |G|<1 nem rho(G)<1.

Passo 5

Sem matriz quadrada não dá pra “escolher um método” e muito menos iterar até varepsilon<4times10^-2 ou 5 iterações. O sistema é subdetermin­ado (mais incógnitas que equações), então tem infinitas soluções e não se usa Jacobi/Gauss-Seidel neste cenário.

Resposta

O sistema dado é 2×3 (não quadrado), logo não satisfaz as condições nem de dominância diagonal nem de formação de matriz de iteração. Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel não se aplicam a sistemas com mais incógnitas do que equações.

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