Considere o sistema linear:
c 3 x1-2 x2+5 x3=3 2 x1-x2-3 x3=-1 x1-x2-4 x3=3
a) Mostre que é possível a decomposição L U da matriz dos coeficientes do sistema e encontre as matrizes L e U.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema 3×3 com a matriz dos coeficientes
A = 3 & -2 & 5 2 & -1 & -3 1 & -1 & -4
O que a questão pede é mostrar que dá para escrever como , onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss “registrando” os multiplicadores como entradas de .

Passo 2

Primeiro a gente coloca L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e no formato “Doolittle”:
No passo de eliminação a gente vai descobrir e os .

Passo 3

Começa pela primeira linha de U = 3 & -2 & 5 0 & tfrac13 & -tfrac193 0 & 0 & ? e pelos multiplicadores da coluna 1:
  • (é só copiar a primeira linha de ).

  • Agora elimina debaixo de :
    • Linha 2 nova = linha 2 original ×linha 1 ⇒
      .
    • Linha 3 nova = linha 3 original ×linha 1 ⇒
      .
Então agora fica parcialmente:

Passo 4

Segue para a segunda coluna:

  • Elimina embaixo de :
    • Linha 3 final = linha 3 nova ×linha 2 nova = linha 3 nova + linha 2 nova ⇒

      Logo .

Resposta

No final, as matrizes ficam
L = 1 & 0 & 0 23 & 1 & 0 13 & -1 & 1 , U = 3 & -2 & 5 0 & tfrac13 & -tfrac193 0 & 0 & -12 ,
e de fato .

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