Considere o sistema linear:
c 4 x1-2 x2+x3=3 2 x1-9 x2-3 x3=-1 x1-x2-4 alpha x3=3
b) Se alpha=2, encontre uma aproximação da solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel, com erro relativo menor que epsilon=10^-1 e com aproximação inicial x^(0)=(0,0,0).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra achar uma aproximação da solução do sistema linear
4x1 - 2x2 + x3 = 3, 2x1 - 9x2 - 3x3 = -1, x1 - x2 - 4alpha,x3 = 3
usando o método de Gauss–Seidel, com , erro relativo menor que e chute inicial .
Conteúdo: métodos iterativos para sistemas lineares (Gauss–Seidel) e critério de parada por erro relativo. Vamos precisar:
  1. Isolar em cada equação.
  2. Aplicar a fórmula iterativa de Gauss–Seidel.
  3. Calcular o erro relativo até ficar abaixo de .

Passo 2

Primeiro, com x1 - x2 - 8x3 = 3 a terceira equação vira
4x1 - 2x2 + x3 &= 3 Longrightarrow x1 = 3 + 2x2 - x34, 2x1 - 9x2 - 3x3 &= -1 Longrightarrow x2 = 1 + 2x1 - 3x39, x1 - x2 - 8x3 &= 3 Longrightarrow x3 = x1 - x2 - 38
Agora isolamos cada incógnita:
Essas fórmulas são o núcleo do Gauss–Seidel: atualizar cada usando os valores mais recentes.

Passo 3

Regra de Gauss–Seidel: dada uma aproximação x1^(k) =dfrac3 + 2,x2^(k-1) - x3^(k-1)4,[6pt] x2^(k) =dfrac1 + 2,x1^(k) - 3,x3^(k-1)9,[6pt] x3^(k) =dfracx1^(k) - x2^(k) - 38 , fazemos
E^(k) = |,x^(k) - x^(k-1)|infty|x^(k)|infty,
Critério de parada: definimos o erro relativo
onde é a norma infinita (o maior valor absoluto do vetor). Paramêtro de parada quando .

Passo 4

Iteração 1 (partindo de x1^(1) &= 3 + 2cdot0 - 04 = 0.75, x2^(1) &= 1 + 2cdot0.75 - 3cdot09 = 1 + 1.59 = 0.27778, x3^(1) &= 0.75 - 0.27778 - 38 = -2.527788 approx -0.31597 ):

Passo 5

Calculando o erro relativo |x^(1) - x^(0)|infty =max0.75,;0.27778,;0.31597 = 0.75, :
|x^(1)|infty = 0.75 Longrightarrow E^(1) = 0.750.75 = 1.0 ;>;10^-1,
ainda não satisfaz.

Passo 6

Iteração 2:
x1^(2) &= 3 + 2cdot0.27778 - (-0.31597)4 = 0.96788, x2^(2) &= 1 + 2cdot0.96788 - 3cdot(-0.31597)9 = 0.43151, x3^(2) &= 0.96788 - 0.43151 - 38 approx -0.30795
Erro relativo |x^(2) - x^(1)|infty = max0.21788,;0.15373,;0.00802 =0.21788, :
|x^(2)|infty = 0.96788 Longrightarrow E^(2) approx 0.21788/0.96788 approx 0.225 ;>;10^-1

Passo 7

Iteração 3:
x1^(3) &= 3 + 2cdot0.43151 - (-0.30795)4 = 1.04274, x2^(3) &= 1 + 2cdot1.04274 - 3cdot(-0.30795)9 = 0.44548, x3^(3) &= 1.04274 - 0.44548 - 38 approx -0.30034
Erro relativo |x^(3) - x^(2)|infty = max0.07486,;0.01397,;0.00761 =0.07486, :
|x^(3)|infty = 1.04274 Longrightarrow E^(3) approx 0.07486/1.04274 approx 0.0718 ;<;10^-1
Pronto, aí a gente para porque o erro está abaixo de .

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss–Seidel (com x approx l(x1^(3),,x2^(3),,x3^(3)r) = l(1.04274,;0.44548,;-0.30034r) , chute inicial e erro relativo ) é

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