Considere o seguinte sistema:
& 5 x1+2 x2+x3=-12 & -x1+4 x2+2 x3=20 & 2 x1-3 x2+10 x3=3
Caso haja garantia de convergência, encontre uma aproximação da solução do sistema dado pelo Método de Jacobi-Richardson, com aproximação inicial x^(0)=(0.1,0.2,0.5) e erro absoluto menor que epsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, então o exercício dá um sistema linear de 3 equações:
5x1 + 2x2 + x3 = -12, -,x1 + 4x2 + 2x3 = 20, 2x1 - 3x2 + 10x3 = 3,
pede para usar o Método de Jacobi‐Richardson a partir de
x^(0) = (0.1,,0.2,,0.5)
e parar quando o erro absoluto (distância máxima entre duas iterações consecutivas) for menor que epsilon=0.01.
Conteúdo: métodos iterativos para resolver sistemas lineares. Vamos precisar
1) verificar convergência (diagonal dominante),
2) escrever a fórmula de iteração de Jacobi,
3) iterar até atingir o critério de parada.

Passo 2

Verificando convergência: um critério bem prático é a diagonal dominante de Gauss. A matriz dos coeficientes é
A=5&2&1-1&4&22&-3&10
Checamos para cada linha se
|aii| > sumjneq i|aij|
Linha 1: 5 > 2+1=3
Linha 2: 4 > 1+2=3
Linha 3: 10 > 2+3=5
Então ela é estritamente diagonalmente dominante e o método de Jacobi converge.

Passo 3

A regra geral de Jacobi é decompor A=D-R, onde D é a diagonal de A e R=A-D.
Em cada iteração kto k+1 a gente faz
x^(k+1) = D^-1l(b - R,x^(k)r)
Escrevendo coordenada a coordenada:
$$
x1^(k+1) &= 15l(-12 -2x2^(k) - x3^(k)r), x2^(k+1) &= 14l(20 + x1^(k) -2x3^(k)r), x3^(k+1) &= 110l(3 -2x1^(k) +3x2^(k)r)
$$

Passo 4

Agora é só calcular iterativamente até |x^(k+1) - x^(k)|infty < 0.01.
Vamos ver as primeiras três iterações pra sentir o ritmo:
k=0 → k=1
x^(1)1 &= tfrac15(-12 - 2cdot0.2 - 0.5) = -2.58, x^(1)2 &= tfrac14(20 + 0.1 - 2cdot0.5) = 4.775, x^(1)3 &= tfrac110(3 - 2cdot0.1 + 3cdot0.2) = 0.34
k=1 → k=2
x^(2)1 &= tfrac15(-12 - 2cdot4.775 - 0.34) approx -4.378, x^(2)2 &= tfrac14(20 - 2.58 - 2cdot0.34) approx 4.185, x^(2)3 &= tfrac110(3 - 2cdot(-2.58) + 3cdot4.775) approx 2.2485
k=2 → k=3
x^(3)1 &approx -4.524, x^(3)2 approx 2.7813, x^(3)3 approx 2.4311
A gente continua fazendo o mesmo até a 11ª iteração, ponto em que
|x^(11) - x^(10)|infty < 0.01

Resposta

Aproximação pelo método de Jacobi com epsilon=0.01:
xapprox l(-4.0002,;3.0029,;1.9998r)

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