Considere o sistema linear:
c -9 x1+5 x2+6 x3=11 2 x1+3 x2+x3=4 -x1+x2-3 x3=-2
b) Havendo ou não garantia de convergência para algum (ou ambos) dos métodos mencionados acima, use-os, com aproximação inicial x^(0)=(0.1,0.2,0.5) para encontrar os quatro próximos termos da sequência de aproximações da solução do sistema.

Passo 1

Então, o exercício pede que a gente use dois métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel), a partir de uma “chute” inicial
x^(0) = (0.1,;0.2,;0.5),
para gerar as próximas quatro aproximações da solução do sistema
-9x1 +5x2 +6x3 =11, 2x1 +3x2 +x3 =4, -,x1 +x2 -3x3 = -2
O conteúdo é Métodos Iterativos para sistemas lineares, e a gente vai precisar das fórmulas de atualização de cada método e da “condição de convergência” (dominância diagonal) para ver se eles têm garantia de convergir.

Passo 2

Antes de calcular, vamos checar a convergência rápida: uma condição suficiente é que cada linha da matriz seja estritamente diagonalmente dominante
|aii| > sumjneq i |aij|
Aqui a matriz dos coeficientes é
A = -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3
  • Linha 1: vs. → falha.
  • Linha 2: vs. → só igualdade.
  • Linha 3: vs. → ok.
Como não é diagon. dominante em todas, não há garantia teórica de convergência nem para Jacobi nem para Gauss–Seidel, mas vamos calcular mesmo assim.

Passo 3

Fórmulas de Jacobi (cada componente usa só valores da iteração anterior):
x1^(k+1) &= 11 - 5,x2^(k) - 6,x3^(k)-9, x2^(k+1) &= 4 ;-;2,x1^(k) - 1,x3^(k)3, x3^(k+1) &= -2 ;+;x1^(k) - x2^(k)-3
Aplicando a partir de x1^(1) &= 11 -5cdot0.2 -6cdot0.5-9 = -0.7778, x2^(1) &= 4 -2cdot0.1 -0.53 = 1.1000, x3^(1) &= -2 +0.1 -0.2-3 = 0.7000 :
k=0 → k=1
x1^(2) &=11 -5cdot1.1 -6cdot0.7-9 = -0.1444, x2^(2) &=4 -2(-0.7778) -0.73 = 1.6185, x3^(2) &=-2 +(-0.7778) -1.1-3 = 1.2926
k=1 → k=2
x1^(3) &= 0.5387, & x2^(3) &= 0.9987, & x3^(3) &= 1.2543
k=2 → k=3
x1^(4) &= 0.1688, & x2^(4) &= 0.5561, & x3^(4) &= 0.8200
k=3 → k=4

Passo 4

Fórmulas de Gauss–Seidel (já usa valores atualizados dentro da mesma iteração):
x1^(k+1) &= 11 - 5,x2^(k) - 6,x3^(k)-9, x2^(k+1) &= 4 - 2,x1^(k+1) - 1,x3^(k)3, x3^(k+1) &= -2 + x1^(k+1) - x2^(k+1)-3
Começando em x^(1) = (-0.7778,;1.6852,;1.4877) :
k=0 → k=1
x^(2) = (0.7058,;0.3669,;0.5537)
k=1 → k=2
x^(3) = (-0.6492,;1.5816,;1.4103)
k=2 → k=3
x^(4) = (0.5966,;0.4655,;0.6230)
k=3 → k=4

Resposta

Sem garantia teórica de convergência (a matriz não é estritamente diagonal dominante), os quatro primeiros iterados são:
Método de Jacobi:
x^(1) &= (-0.7778,;1.1000,;0.7000), x^(2) &= (-0.1444,;1.6185,;1.2926), x^(3) &= (0.5387,;0.9987,;1.2543), x^(4) &= (0.1688,;0.5561,;0.8200)
Método de Gauss–Seidel:
x^(1) &= (-0.7778,;1.6852,;1.4877), x^(2) &= (0.7058,;0.3669,;0.5537), x^(3) &= (-0.6492,;1.5816,;1.4103), x^(4) &= (0.5966,;0.4655,;0.6230)

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