Seja o sistema linear:
b) Use o Método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial
x^(0)=(0,0,0) , para encontrar as três próximas aproximações da solução do sistema.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para resolver esse sistema
usando o Método de Gauss–Seidel. Isso faz parte de Métodos Numéricos (iterativos para sistemas lineares). A gente vai precisar:
- isolar cada variável em cada equação,
- usar a aproximação inicial
, - aplicar a fórmula de Gauss–Seidel passo a passo para obter
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar as variáveis (forma padrão do Gauss–Seidel):
Teoria rápida: no Gauss–Seidel, a cada iteração a gente usa a versão mais nova de
assim que ela aparece, ao contrário do Jacobi, que só usa valores da iteração anterior.
Passo 3
Cálculo de
x1^(1) &= 1 - 2cdot0 - 6cdot04 = 14 = 0.25, x2^(1) &= 2 - 4cdot0.25 - 2cdot01 = 2 - 1 = 1.0, x3^(1) &= 3 + 0.25 - 5cdot1.03 = 3.25 - 53 = -1.753 approx -0.5833 a partir de
:
Passo 4
Cálculo de
x1^(2) &= 1 - 2cdot1.0 - 6cdot(-0.5833)4 = 1 - 2 + 3.49984 = 2.49984 approx 0.6250, x2^(2) &= 2 - 4cdot0.6250 - 2cdot(-0.5833) = 2 - 2.5 + 1.1666 = 0.6666 approx 0.6667, x3^(2) &= 3 + 0.6250 - 5cdot0.66673 = 3.6250 - 3.33353 = 0.29153 approx 0.0972 usando já
:
Passo 5
Cálculo de
x1^(3) &= 1 - 2cdot0.6667 - 6cdot0.09724 = 1 - 1.3334 - 0.58324 = -0.91664 approx -0.2291, x2^(3) &= 2 - 4cdot(-0.2291) - 2cdot0.0972 = 2 + 0.9164 - 0.1944 = 2.7220, x3^(3) &= 3 - 0.2291 - 5cdot2.72203 = 3 - 0.2291 - 13.61003 = -10.83913 approx -3.6130 usando
:
Resposta
As três próximas aproximações pelo Método de Gauss–Seidel, a partir de
x^(1) = (0.25,;1.00,;-0.5833), x^(2) = (0.6250,;0.6667,;0.0972), x^(3) = (-0.2291,;2.7220,;-3.6130) , são: