Considere o sistema linear:
c -9 x1+5 x2+6 x3=11 2 x1+3 x2+x3=4 -x1+x2-3 x3=-2
a) Verifique se há garantia de convergência caso sejam usados o Método de Jacobi-Richardson ou o Método de Gauss-Seidel para resolver o sistema.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um sistema linear
-9x1 + 5x2 + 6x3 = 11, 2x1 + 3x2 + x3 = 4, -,x1 + x2 - 3x3 = -2,
e quer saber se, ao usar o Método de Jacobi (que às vezes chamam de Jacobi–Richardson) ou o de Gauss–Seidel, a gente tem garantia de convergir.
Conteúdo: teoria de métodos iterativos para sistemas lineares, critério de convergência (dominância diagonal, raio espectral etc.).
O que vamos precisar: entender o conceito de dominância diagonal estrita (um jeito fácil de garantir convergência), aplicar esse teste linha a linha e concluir.

Passo 2

Explicando a teoria rapidinho:
  • Para o Método de Jacobi e para o de Gauss–Seidel, uma condição suficiente (não necessária) de convergência é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas.
  • Uma matriz A=[aij] é estritamente diagonal dominante por linhas se, em toda linha i, valer |aii| ;>; sumjneq i |aij|
    - Se isso acontece, em geral tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem para a solução do sistema.

Passo 3

Vamos checar a dominância linha a linha para a nossa matriz
A = -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3
Linha 1: a11=-9, então
|a11| = 9, |a12|+|a13| = |5|+|6| = 11
Como 9 not> 11, não é dominante.
Linha 2: a22=3, então
|a22| = 3, |a21|+|a23| = |2|+|1| = 3
Aqui 3 not> 3, é só “igual”, então também não é estrita.
Linha 3: a33=-3, então
|a33| = 3, |a31|+|a32| = |-1|+|1| = 2
Aqui 3 > 2, a terceira linha é estritamente dominante.

Passo 4

Como nem a linha 1 nem a linha 2 satisfazem a desigualdade estrita de dominância, a matriz A não é estritamente diagonal dominante por linhas. Logo, não podemos usar esse critério para garantir convergência de Jacobi nem de Gauss–Seidel. (Para garantir convergência, precisaríamos de outra propriedade, como raio espectral menor que 1, mas isso daria muito mais trabalho de cálculo.)

Resposta

Não há garantia de convergência nem para o Método de Jacobi–Richardson nem para o Método de Gauss–Seidel, já que A não é estritamente diagonal dominante por linhas.

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