Considere o sistema linear:
c 4 x1-2 x2+x3=3 2 x1-9 x2-3 x3=-1 x1-x2-4 alpha x3=3
a) Determine os valores de alpha para que haja garantia de convergência para a solução do sistema pelo Método de Gauss-Seidel, a partir do Critério de Sassenfeld.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos o sistema
4x1-2x2+x3=3, 2x1-9x2-3x3=-1, x1-x2-4alpha,x3=3,
e quer saber para quais valores de o método de Gauss–Seidel converge, usando o Critério de Sassenfeld.
Conteúdo: método iterativo Gauss–Seidel e Critério de Sassenfeld.
O que precisamos: montar os coeficientes do sistema (a_{ij}), calcular os betas via Sassenfeld e exigir .

Passo 2

Teoria do Critério de Sassenfeld (sem pular passos!):
Para um sistema betai = 1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|betaj ;+;sumj=i+1^n|aij|r) com matriz max1<= i<= nbetai < 1 e solução iterativa de Gauss–Seidel, define-se
O método converge se
Aqui . Vamos calcular .

Passo 3

Calcular beta1 = 1|a11|l(|a12| + |a13|r) = 14,(|-2|+|1|) = 14,(2+1) = 34 = 0,75 .
No primeiro passo só tem termos fora da diagonal à direita, então

Passo 4

Calcular beta2 = 1|a22|l(|a21|beta1 + |a23|r) = 19l(2cdot0,75 + 3r) = 19,(1,5+3) = 4,59 = 0,5 .
Agora aparece o no somatório à esquerda:

Passo 5

Calcular beta3 = 1|a33|l(|a31|beta1 + |a32|beta2r) = 1|-4alpha|l(1cdot0,75 + 1cdot0,5r) = 1,254|alpha| = 1,254,|alpha| .
Aqui usamos e :
Ou, se preferir, .

Passo 6

Condição de convergência:
beta3<1 Longrightarrow 1,254|alpha|<1 Longrightarrow 1,25<4|alpha| Longrightarrow |alpha|>1,254 =516 .
Já vimos que e sempre.
Só precisamos de

Resposta

O método de Gauss–Seidel converge pelo Critério de Sassenfeld se e somente se
|alpha| > 516,
isto é, ou .

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