a) Determine os valores de alpha para que haja garantia de convergência para a solução do sistema pelo Método de Gauss-Seidel, a partir do Critério de Sassenfeld.
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos o sistema
4x1-2x2+x3=3, 2x1-9x2-3x3=-1, x1-x2-4alpha,x3=3,
e quer saber para quais valores de o método de Gauss–Seidel converge, usando o Critério de Sassenfeld.
Conteúdo: método iterativo Gauss–Seidel e Critério de Sassenfeld.
O que precisamos: montar os coeficientes do sistema (a_{ij}), calcular os betas via Sassenfeld e exigir .
Passo 2
Teoria do Critério de Sassenfeld (sem pular passos!):
Para um sistema betai = 1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|betaj ;+;sumj=i+1^n|aij|r) com matriz max1<= i<= nbetai < 1 e solução iterativa de Gauss–Seidel, define-se
O método converge se
Aqui . Vamos calcular .
Passo 3
Calcular beta1 = 1|a11|l(|a12| + |a13|r) = 14,(|-2|+|1|) = 14,(2+1) = 34 = 0,75 .
No primeiro passo só tem termos fora da diagonal à direita, então
Passo 4
Calcular beta2 = 1|a22|l(|a21|beta1 + |a23|r) = 19l(2cdot0,75 + 3r) = 19,(1,5+3) = 4,59 = 0,5 .
Agora aparece o no somatório à esquerda:
Condição de convergência: beta3<1 Longrightarrow 1,254|alpha|<1 Longrightarrow 1,25<4|alpha| Longrightarrow |alpha|>1,254 =516 .
Já vimos que e sempre.
Só precisamos de
Resposta
O método de Gauss–Seidel converge pelo Critério de Sassenfeld se e somente se