Considere o sistema linear:
c 2 x1+x2+3 x3+4 x4=7 6 x1+5 x2+10 x3+18 x4=32 2 x1+5 x2+8 x3+17 x4=28 10 x1+7 x2+22 x3+29 x4=46
a) Mostre que é possível a decomposição L U da matriz dos coeficientes do sistema e encontre as matrizes L e U.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra mostrar que dá pra fazer a fatoração LU na matriz dos coeficientes do sistema
A= 2 & 1 & 3 & 4 6 & 5 & 10 &18 2 & 5 & 8 &17 10&7 &22 &29
Isso é conteúdo de Álgebra Linear: decomposição LU (sem pivotação), usando eliminacão de Gauss mas guardando os multiplicadores na matriz L. Vamos precisar calcular os “l_{ij}” (os coeficientes que eliminam abaixo da diagonal) e montar U (a matriz triangular superior que sobra).

Passo 2

Primeiro, escolhemos o pivô l21=62=3, R2 R2-3R1 .
  • Para zerar l31=22=1, R3 R3-1R1;to;(0,,4,,5,,13) usamos l41=102=5, R4 R4-5R1;to;(0,,2,,7,,9) A nova 2ª linha vira L= 1 &0&0&0 3 &1&0&0 1 &0&1&0 5 &0&0&1 .
  • Para zerar 2&1&3&4 0&2&1&6 0&4&5&13 0&2&7&9 usamos
  • Para zerar usamos
Até aqui, L vai acumulando
e U (parcial) é

Passo 3

Agora pivô l32=42=2, R3 R3-2R2;to;(0,,0,,3,,1) .
  • Zeramos l42=22=1, R4 R4-1R2;to;(0,,0,,6,,3) com L= 1 &0&0&0 3 &1&0&0 1 &2&1&0 5 &1&0&1 , U= 2&1&3&4 0&2&1&6 0&0&3&1 0&0&6&3
  • Zeramos com
Atualizamos L e U:

Passo 4

Por fim, pivô l43=63=2, R4 R4-2R3;to;(0,,0,,0,,1) .
  • Zeramos L= 1 &0&0&0 3 &1&0&0 1 &2&1&0 5 &1&2&1 , U= 2&1&3&4 0&2&1&6 0&0&3&1 0&0&0&1 com
Ficamos com

Resposta

A decomposição L= 1 &0&0&0 3 &1&0&0 1 &2&1&0 5 &1&2&1 , U= 2&1&3&4 0&2&1&6 0&0&3&1 0&0&0&1 existe e é dada por

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