Considere o sistema não linear cx1+x2-1=0 x1^2-x2=0. Se a aproximação inicial for X=binom0,70,4, realize uma iteração pelo método de Newton.

Passo 1

Beleza, tem um sistema não-linear aqui:
x1 + x2 - 1 = 0, x1^2 - x2 = 0,
e a gente precisa fazer UMA iteração do método de Newton a partir da aproximação inicial
X^(0) = 0.7 [3pt] 0.4
Conteúdo: método de Newton para sistemas de equações.
O que vamos usar:
  1. definir o vetor função ,
  2. calcular a matriz jacobiana ,
  3. montar e resolver o sistema linear ,
  4. atualizar .

Passo 2

Primeiro, lembre que o método de Newton em sistemas é
X^(k+1) = X^(k) - J(X^(k))^-1,F(X^(k)),
ou, de forma prática, a gente resolve
J(X^(k)),De
Então precisamos definir:
[
F(X) = F(X) = f1(x1,x2) [3pt] f2(x1,x2) = x1 + x2 - 1 [3pt] x1^2 - x2 ,

J(X)= partial f1partial x1 & partial f1partial x2 [4pt] partial f2partial x1 & partial f2partial x2 = 1 & 1 [3pt] 2,x1 & -1 ,
]
e a jacobiana
[
J(X)=

.
]

Passo 3

Agora avaliamos em f1(0.7,0.4)=0.7+0.4-1=0.1, f2(0.7,0.4)=0.7^2-0.4=0.49-0.4=0.09, :
  1. F(X^(0))=0.1[3pt]0.09 :

J(0.7,0.4)= 1 & 1 [3pt] 2cdot0.7 & -1 = 1 & 1 [3pt] 1.4 & -1
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2) :
[
J(0.7,0.4)=

.
]

Passo 4

Montamos o sistema
[
1 & 1 [3pt] 1.4 & -1 De
De

- 1.4,De.
]
Ou seja
De
Resolvendo:
  • Da primeira, .
  • Substituindo na segunda:
Então

Passo 5

Basta atualizar
X^(1) = X^(0) + De

Resposta

A nova aproximação depois de uma iteração de Newton é
X^(1) approx 0.62083[4pt] 0.37917

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