Considere o sistema linear c2 x1+x2=7 3 x1-4 x2=5 Resolva graficamente. O critério de Sassenfeld é satisfeito? Justifique sua resposta. Utilizando o método de Gauss-Seidel com X^(0)=(ll0 & 0)^T, calcule X^(5). (Faça uma tabela com as aproximações)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema linear
O que vamos fazer:
  1. Resolver graficamente (achar o ponto de interseção das duas retas);
  2. Checar o critério de Sassenfeld (para ver se Gauss–Seidel converge);
  3. Aplicar o método de Gauss–Seidel com 2x1 + x2 = 7, 3x1 - 4x2 = 5 e calcular .
Pra isso, só vamos precisar da fórmula das retas, da definição de Sassenfeld e das fórmulas iterativas do Gauss–Seidel.

Passo 2

Resolução gráfica
Cada equação vira uma reta:
  • Da primeira: 28 - 8x1 = 3x1 - 5 longrightarrow 28 +5 = 3x1 +8x1 longrightarrow 33 = 11x1 longrightarrow x1 = 3 .
  • Da segunda: .
O ponto de interseção é onde .
Multiplicando por 4:
Depois, . Logo graficamente as retas se cruzam em .

Passo 3

Critério de Sassenfeld
Pra um sistema betai = 1|aii|sumjneq i |aij|;betaj, , define-se
A = 2 & 1 3 & -4
onde na soma usamos os já calculados antes. No nosso caso
  • Para : .
  • Para :
Como , o critério de Sassenfeld é satisfeito ⇒ Gauss–Seidel converge.

Passo 4

Método de Gauss–Seidel
Reescrevemos as equações isolando cada variável:
x1 = 7 - x22, x2 = 3x1 - 54
No passo , usamos logo que sai o pra calcular .

Passo 5

Tabela de iterações até c|cc k & x1^(k) & x2^(k) hline 0 & 0 & 0 1 & tfrac7-02=3,5 & tfrac3cdot3,5-54=1,375 2 & tfrac7-1,3752=2,8125 & tfrac3cdot2,8125-54=0,859375 3 & tfrac7-0,8593752=3,0703125 & tfrac3cdot3,0703125-54=1,052734375 4 & tfrac7-1,0527343752=2,9736328125 & tfrac3cdot2,9736328125-54=0,980224609375 5 & tfrac7-0,9802246093752=3,0098876953125 & tfrac3cdot3,0098876953125-54=1,007415771484375

Resposta

  1. Solução gráfica: X^(5) = 3,0098876953125 [3pt]1,007415771484375 .
  2. Critério de Sassenfeld: satisfeito ( ).
  3. Gauss–Seidel com

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