Considere o sistema linear
Resolva graficamente. O critério de Sassenfeld é satisfeito? Justifique sua resposta. Utilizando o método de Gauss-Seidel com
, calcule
. (Faça uma tabela com as aproximações)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema linear
O que vamos fazer:
- Resolver graficamente (achar o ponto de interseção das duas retas);
- Checar o critério de Sassenfeld (para ver se Gauss–Seidel converge);
- Aplicar o método de Gauss–Seidel com
e calcular .
Pra isso, só vamos precisar da fórmula das retas, da definição de Sassenfeld e das fórmulas iterativas do Gauss–Seidel.
Passo 2
Resolução gráfica
Cada equação vira uma reta:
Cada equação vira uma reta:
- Da primeira:
. - Da segunda:
⇒ .
O ponto de interseção é onde
.
Multiplicando por 4:
Multiplicando por 4:
Depois,
. Logo graficamente as retas se cruzam em
.
Passo 3
Critério de Sassenfeld
Pra um sistema , define-se
Pra um sistema
onde na soma usamos os
já calculados antes. No nosso caso
- Para
: . - Para
:
Como
, o critério de Sassenfeld é satisfeito ⇒ Gauss–Seidel converge.
Passo 4
Método de Gauss–Seidel
Reescrevemos as equações isolando cada variável:
Reescrevemos as equações isolando cada variável:
No passo
, usamos logo que sai o
pra calcular
.
Passo 5
Tabela de iterações até
Resposta
- Solução gráfica:
. - Critério de Sassenfeld: satisfeito (
). - Gauss–Seidel com
dá