Considere o sistema linear Ax=b,
Calcule o determinante de [rrrr 2 & 1 & -2 & 0 1 & 10 & 5 & 1 -2 & 5 & 8 & 4 0 & 1 & 4 & 6 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[r 1 0 11 21 ] .

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma matriz
A= 2 & 1 & -2 & 0 1 & 10 & 5 & 1 -2& 5 & 8 & 4 0 & 1 & 4 & 6
e o enunciado só quer o determinante . O conteúdo é “determinantes de matrizes 4×4” e o truque mais prático é usar eliminação de Gauss: fazer operações de linha que não trocam sinais nem multiplicam a matriz por escalar (só somas de linhas multiplicadas por constantes). No fim, a matriz vira triangular e o determinante é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria:
  • Se você soma a uma linha um múltiplo de outra linha, o determinante não muda.
  • Não vamos trocar linhas (isso mudaria o sinal) nem multiplicar linha por escalar (isso altera o valor).
  • No final, para uma matriz triangular, dos pivôs (elementos da diagonal).
Vamos começar zerando os elementos abaixo de .

Passo 3

Matriz inicial:
2 & 1 & -2 & 0 1 & 10 & 5 & 1 -2& 5 & 8 & 4 0 & 1 & 4 & 6
– Para zerar o L2 L2 - tfrac12,L1 em L3 L3 + 1cdot L1 , fazemos
2 & 1 & -2 & 0 0 & 9.5 & 6 & 1 0 & 6 & 6 & 4 0 & 1 & 4 & 6
– Para zerar o em , fazemos
O já tem zero na coluna 1. Depois dessas operações, fica:

Passo 4

Agora, passo ao segundo pivô L3 L3 - 69.5,L2 :
– Zera em L4 L4 - 19.5,L2 :
2 & 1 & -2 & 0 0 & 9.5 & 6 & 1 0 & 0 & tfrac4219& tfrac6419 0 & 0 & tfrac6419& tfrac11219
– Zera em L4 L4 - tfrac6419tfrac4219,L3 = L4 - 3221,L3 :
2 & * & * & * 0 & 9.5 & * & * 0 & 0 & tfrac4219 & * 0 & 0 & 0 & tfrac304399
Fica
Por fim, terceiro pivô :
vira

Passo 5

Sem trocas de linha e sem multiplicar linhas por constantes,
det(A) =2 times 9.5 times 4219times 304399 é o produto dos pivôs:
2times192times4219times304399 =;42times304399 =12768399 =1276819cdot21 =60819 =32
Para simplificar, note que e . Fazendo as cancelações:

Resposta

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