Considere o sistema linear
(ccc 4 & -1 & 2 2 & 0 & 1 -1 & 1 & w ) x=(l 2 5 r )
(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de w e r.
(b) Para quais valores de w e r o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema com parâmetros e :
O conteúdo aqui é Eliminação de Gauss sem pivoteamento parcial. Vamos transformar o sistema numa forma triangular superior em função de e .

Passo 2

Eliminação de x1 usando o pivô a11=4.
Aplicamos
R2 R2 - 24,R1
e
R3 R3 + 14,R1
Isso leva a
R2:;[,0,tfrac12,,0mid 5 - tfrac24cdot2,]=[,0,tfrac12,,0mid 4,],
R3:;[,0,tfrac34,,w+tfrac12mid r + tfrac14cdot2,]=[,0,tfrac34,,w+tfrac12mid r+tfrac12,]

Passo 3

Eliminação de x2 no terceiro pivô, com a22=tfrac12. Fazemos
R3 R3 - tfrac34tfrac12,R2 =R3 - tfrac32,R2
O novo R3 é
[,0,0,,w+tfrac12mid (r+tfrac12)-tfrac32cdot4,] =[,0,0,,w+tfrac12mid r-tfrac112,]

Passo 4

O sistema ficou triangular:
4x1 - x2 + 2x3 = 2, tfrac12,x2 = 4, l(w+tfrac12r)x3 = r - tfrac112
Da terceira equação vemos que o coeficiente de x3 é w+tfrac12.
  • Se w+tfrac12neq0 então x3 é determinado e o sistema tem solução única.
  • Se w+tfrac12=0, ou seja w=-tfrac12, então a equação vira 0cdot x3 = r-tfrac112:
    • se r-tfrac112neq0, não há solução (contradição 0=não zeroã);
    • se r-tfrac112=0, ou seja r=tfrac112, resta uma equação redundante e o sistema tem infinitas soluções ( x3 fica livre, x2=8 e x1 obtido pela primeira equação).

Resposta

(a) A forma triangular obtida é
4x1 - x2 + 2x3 = 2, tfrac12,x2 = 4, l(w+tfrac12r)x3 = r - tfrac112
(b)
– Infinitas soluções se w=-tfrac12 e r=tfrac112.
– Solução única se wneq -tfrac12.
– Não admite solução se w=-tfrac12 e rneq tfrac112.

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