Considere o sistema linear
[lll 3 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 5 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 3 ]
Resolva o sistema utilizando a decomposição L U.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
usando decomposição .
Conteúdo: fatorar pela forma de Doolittle (onde tem 1 na diagonal) e depois resolver (substituição para frente) e (substituição para trás).

Passo 2

Aplicando Doolittle, primeiro definimos
u1j=a1j, j=1,2,3, elli1=ai1u11, i=2,3
Logo
u11=3, u12=1, u13=1, ell21=13, ell31=13

Passo 3

Para i=2 calculamos
u22=a22-ell21,u12 =3-13cdot1=83, u23=a23-ell21,u13 =1-13cdot1=23,
e
ell32=a32-ell31,u12u22 =1-tfrac13cdot1tfrac83 =tfrac23tfrac83=14

Passo 4

Finalmente para i=3 achamos
u33 = a33-ell31,u13-ell32,u23 =5-13cdot1-14cdot23 =5-12=92
Assim
L= 1 & 0 & 0 tfrac13 & 1 & 0 tfrac13 & tfrac14 & 1 , U= 3 & 1 & 1 0 & tfrac83 & tfrac23 0 & 0 & tfrac92

Passo 5

Resolvendo L,y=b por substituição para frente:
y1=1, y2=2-13,y1=2-13=53, y3=3-13,y1-14,y2 =3-13-14cdot53=94

Passo 6

Resolvendo U,x=y por substituição para trás:
da última equação
92x3=94 ;Longrightarrow; x3=12
da segunda
83x2+23x3=53 ;Longrightarrow; 8x2+2!cdot!12=5 ;Longrightarrow; x2=12
da primeira
3x1+x2+x3=1 ;Longrightarrow; 3x1+12+12=1 ;Longrightarrow; x1=0

Resposta

x1=0, x2=tfrac12, x3=tfrac12.

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