A decomposição P A=L U de uma matriz 3 times 3 é dada por
P=[lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ], L=[ccc 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ] e U=[ccc 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 ]
(a) Utilizando a decomposição acima, resolva o sistema linear A x=b, com b=[c1 2 -1].
(b) Obtenha a matriz A.

Passo 1

O enunciado fornece a decomposição com pivoteamento
P A = L U
para uma matriz A de ordem 3, onde
P = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 , L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 , U = 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3
Pedem-se duas coisas:
(a) resolver A x = b para b = l[1;2;-1r]^T, usando P A = L U;
(b) recuperar a matriz A.

Passo 2

Para resolver A x = b com pivoteamento notamos que
P A x = L U x = P b
Primeiro calculamos
P b = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 12-1 = 2-11
Em seguida fazemos a substituição para frente L y = P b.

Passo 3

Resolvendo
temos as equações
Logo

Passo 4

Agora resolvemos para trás , isto é
Da terceira equação obtemos
Da segunda,
Da primeira,
Portanto a solução é

Passo 5

Para obter A usamos
P A = L U ;Longrightarrow; A = P^T L U,
já que P^T P = I. Primeiro calculamos
L U = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 = 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1 -2 & -3 & 4
Então
P^T = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 ,
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A = P^T,(L U) = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1 -2 & -3 & 4 = -2 & -3 & 4 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1

Resposta

(a) x = -331
(b) A = -2 & -3 & 4 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1

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