Seja A uma matriz de ordem n. Podemos encontrar A^-1, a inversa de A, resolvendo o conjunto de sistemas lineares
A x^(i)=e^(i), i=1, ldots, n,
em que os vetores e^(i) são as colunas da matriz identidade de ordem n e os vetores x^(i) são as colunas de A^-1. Utilizando decomposição LU, inverta a matriz
A=(lll 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa de
A = 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1
usando decomposição LU e, em seguida, resolvendo os sistemas
A,x^(i) = e^(i), i=1,2,3,
onde e^(i) é a i-ésima coluna da identidade e x^(i) será a i-ésima coluna de A^-1.
Conteúdo: fatoração de Doolittle (LU com L unitária) e substituições direta e retroativa para resolver sistemas triangulares.

Passo 2

Fatoramos A=L,U pela regra de Doolittle:
L21=12, L31=12,
atualizando linhas 2 e 3, depois
L32=-tfrac12tfrac12=-1
Isso dá
L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 12 & -1 & 1 , U = 2 & 1 & 0 0 & 12 & 1 0 & 0 & 2

Passo 3

Resolver A,x^(1)=e^(1) com e^(1)=(1,0,0)^T.
  1. Substituição direta L,y = e^(1):
y1 = 1, 12y1 + y2 = 0, 12y1 - y2 + y3 = 0
,Longrightarrow, y = l(1,,-tfrac12,,-1r)^T
  1. Substituição retroativa U,x^(1) = y:
2x1 + x2 = 1, tfrac12x2 + x3 = -tfrac12, 2x3 = -1
,Longrightarrow, x^(1) = l(tfrac12,,0,,-tfrac12r)^T

Passo 4

Resolver A,x^(2)=e^(2) com e^(2)=(0,1,0)^T.
  1. L,y = e^(2):
y1 = 0, 12y1 + y2 = 1, 12y1 - y2 + y3 = 0
,Longrightarrow, y = l(0,,1,,1r)^T
  1. U,x^(2) = y:
2x1 + x2 = 0, tfrac12x2 + x3 = 1, 2x3 = 1
,Longrightarrow, x^(2) = l(-tfrac12,,1,,tfrac12r)^T

Passo 5

Resolver A,x^(3)=e^(3) com e^(3)=(0,0,1)^T.
  1. L,y = e^(3):
y1 = 0, 12y1 + y2 = 0, 12y1 - y2 + y3 = 1
,Longrightarrow, y = l(0,,0,,1r)^T
  1. U,x^(3) = y:
2x1 + x2 = 0, tfrac12x2 + x3 = 0, 2x3 = 1
,Longrightarrow, x^(3) = l(tfrac12,,-1,,tfrac12r)^T

Passo 6

As colunas de A^-1 são x^(1),x^(2),x^(3). Logo,
A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & -1 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

Resposta

A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & -1 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

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