- (a) Considere a equação diferencial
com condições de fronteira
. Dada uma partição
do intervalo
formada por nós igualmente espaçados, isto é
, com
, uma aproximação
, para os valores
pode ser obtida pelo método de diferenças finitas como solução do sistema linear
A matriz
A do sistema satisfaz o critério das linhas? E o critério de Sassenfeld? Com base nesses critérios, qual dentre os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel é o mais adequado para resolver esse problema?
(b) Ao escalonar a matriz
A do item anterior (sem troca de linhas) para resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss, chegamos a uma matriz
A^* que é triangular superior, cujos elementos da diagonal satisfazem a relação de recorência
A1,1^*=2, (A^*)i+1, i+1=2-1(A^*)i, i, i=1,2, ldots, n-1
Verifique essas relação para
n=4. Você conseguiria provar essa relação utilizando o método de indução matemática? Mostre que os elementos da diagonal de
A^* são todos maiores ou iguais a 1. Sugestão:
- Escreva
(A^*)i+1, i+1=Phi(Ai, i^*) e mostre que
Phi possui um único ponto fixo
alpha.
- Com base no teorema do valor médio:
Phi(x)-Phi(alpha)x-alpha=Phi^prime(zeta), com
zeta entre
x e
alpha, mostre que o denominador e o numerador de
(A^*)i+1, i+1-alpha(A^*)i, i-alpha possuem o mesmo sinal para todo
i >= 1 e conclua que os termos da sequência
A1,1^*, A2,2^*, ldots, An, n^* estão todos de um mesmo lado com relação a
alpha.
- Conclua o resultado com base na inequação
A1,1^*>alpha.