(a) Para que valores de alpha a matriz A é decomponível no produto LU? Justifique.
(b) Considere alpha=1 e resolva o sistema linear obtido pelo método de eliminação de Gauss.
Passo 1
O enunciado dá o sistema ,A x = b com
A = 1 & alpha & 3 alpha & 1 & 4 5 & 2 & 1 , x = l(x1,x2,x3r)^t, b = l(-2,-3,4r)^t
Na parte (a) queremos saber para quais alpha existe decomposição LU sem pivoteamento. O critério prático é que todos os menores principais de A sejam não nulos.
Na parte (b) tomamos alpha=1 e resolvemos o sistema por eliminação de Gauss (com pivoteamento parcial, já que o segundo pivô seria zero sem trocar linhas).
Passo 2
Critério de existência de LU sem pivoteamento: 1. O primeiro pivô ,a11=1 deve ser não nulo. 2. O segundo pivô é o determinante do bloco principal 2times2, isto é
det1 & alpha[4pt] alpha & 1 =1-alpha^2,
que também deve ser não nulo.]
Passo 3
Como a11=1neq0 para todo alpha, e detl(1&alphaalpha&1r)=1-alpha^2neq0 exige alphaneqpm1, concluímos que
Resposta (a): alphaneqpm1.
Passo 4
Agora em (b) tomamos alpha=1. A matriz e o vetor tornam-se
1. Pivô na coluna 1: escolhemos o maior em módulo, que é 5 em R3, e trocamos R1 rightarrowR3. 2. Eliminamos abaixo: L21=tfrac15,,L31=tfrac15
Atualizando R2 e R3:
3. Pivô na coluna 2: tfrac35 em R2 (nenhuma troca).
L32=1
Eliminamos R3:
R3to R3-R2: (0,0,1mid -1)
Passo 5
Fazendo a substituição regressiva: 1. Da última linha, x3=-1. 2. Na segunda, tfrac35x2+tfrac145x3=-tfrac145. Substituindo x3=-1 dá 3x2-14=-14, logo x2=0. 3. Na primeira, 5x1+2x2+x3=4 leva a 5x1-1=4, logo x1=1.