Considere o sistema linear A x=b, onde:
A=[ccc 1 & alpha & 3 alpha & 1 & 4 5 & 2 & 1 ], x=[lll x1 & x2 & x3 ]^t e b=[lll -2 & -3 & 4 ]^t
(a) Para que valores de alpha a matriz A é decomponível no produto LU? Justifique.
(b) Considere alpha=1 e resolva o sistema linear obtido pelo método de eliminação de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá o sistema ,A x = b com
A = 1 & alpha & 3 alpha & 1 & 4 5 & 2 & 1 , x = l(x1,x2,x3r)^t, b = l(-2,-3,4r)^t
Na parte (a) queremos saber para quais alpha existe decomposição LU sem pivoteamento. O critério prático é que todos os menores principais de A sejam não nulos.
Na parte (b) tomamos alpha=1 e resolvemos o sistema por eliminação de Gauss (com pivoteamento parcial, já que o segundo pivô seria zero sem trocar linhas).

Passo 2

Critério de existência de LU sem pivoteamento:
1. O primeiro pivô ,a11=1 deve ser não nulo.
2. O segundo pivô é o determinante do bloco principal 2times2, isto é
det1 & alpha[4pt] alpha & 1 =1-alpha^2,
que também deve ser não nulo.]

Passo 3

Como a11=1neq0 para todo alpha, e detl(1&alphaalpha&1r)=1-alpha^2neq0 exige alphaneqpm1, concluímos que
Resposta (a): alphaneqpm1.

Passo 4

Agora em (b) tomamos alpha=1. A matriz e o vetor tornam-se
l[Amid br] = 1 & 1 & 3 &mid& -2 1 & 1 & 4 &mid& -3 5 & 2 & 1 &mid& 4
1. Pivô na coluna 1: escolhemos o maior em módulo, que é 5 em R 3, e trocamos R 1 rightarrowR 3.
2. Eliminamos abaixo:
L21=tfrac15,,L31=tfrac15
Atualizando R 2 e R 3:
R2to R2-tfrac15R1: (0,tfrac35,tfrac145mid -tfrac145), R3to R3-tfrac15R1: (0,tfrac35,tfrac195mid -tfrac195)
3. Pivô na coluna 2: tfrac35 em R 2 (nenhuma troca).
L32=1
Eliminamos R 3:
R3to R3-R2: (0,0,1mid -1)

Passo 5

Fazendo a substituição regressiva:
1. Da última linha, x3=-1.
2. Na segunda, tfrac35x2+tfrac145x3=-tfrac145. Substituindo x3=-1 3x2-14=-14, logo x2=0.
3. Na primeira, 5x1+2x2+x3=4 leva a 5x1-1=4, logo x1=1.

Resposta

(a) alphaneqpm1.
(b) x=(1,,0,,-1)^t.

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