Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa
Aplique o método de Gauss-Seidel ao sistema. Comente seu desempenho.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra aplicar o método de Gauss–Seidel num sistema linear A = 1 & 1 & -1 & 2 & -1 [3pt] 2 & 0 & 0 & 0 & 0 [3pt] 0 & 2 & 0 & 0 & 0 [3pt] 4 & 0 & 0 & 16 & 0 [3pt] 0 & 0 & 4 & 0 & 0 , b = 222204 , onde
Conteúdo da matéria: método iterativo de Gauss–Seidel, que exige isolar cada numa equação com coeficiente . Para resolver, a gente precisa:
  1. conhecer a fórmula de iteração de Gauss–Seidel;
  2. garantir que cada elemento da diagonal seja diferente de zero, porque a iteração faz .

Passo 2

Como funciona o Gauss–Seidel? A gente escreve xi^(k+1) = 1aiil(bi - sumj=1^i-1aij,xj^(k+1) - sumj=i+1^naij,xj^(k)r) , onde
  • é a diagonal de ,
  • é a parte estritamente abaixo da diagonal,
  • é a parte estritamente acima.
    A iteração típica é, pra cada componente :
Repare que a gente precisa dividir por , então cada tem que ser diferente de zero, OK?

Passo 3

Agora olha o nosso a11=1, a22=0, a33=0, a44=16, a55=0 . Quais são os elementos da diagonal?
x2^(k+1) = 1a22l(dotsr) = 10l(dotsr),
Em Gauss–Seidel, ao chegar na iteração para (segunda linha), precisaríamos calcular
e isso é divisão por zero, ou seja, não dá pra isolar . O mesmo vale para e , pois e .

Passo 4

Comentário sobre desempenho:
– Na forma dada, o Gauss–Seidel não é aplicável, porque três entradas da diagonal são zero.
– Antes de usar Gauss–Seidel, teríamos que reordenar as variáveis ou as linhas de modo a garantir para todos .
– Sem essa reordenação, a iteração cai em divisão por zero e não roda.

Resposta

O método de Gauss–Seidel não pode ser aplicado diretamente ao sistema fornecido, pois a matriz tem elementos nulos na diagonal ( ), o que leva a divisões por zero na fórmula iterativa.

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