Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa
Faça mudanças de linhas na matriz original para facilitar a aplicação do método da Eliminação de Gauss. O que você pode concluir, de uma maneira geral?
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um sistema linear
onde
O conteúdo é Eliminação de Gauss com pivoteamento por linhas (troca de equações). Vamos precisar saber que trocar linhas não muda a solução do sistema e que a ideia é criar um “sistema triangular” pra resolver facinho.
Passo 2
Olha a primeira coluna de A: só as linhas 1, 2 e 4 têm pivôs não nulos. Mas a linha 2 é a mais simples (2 x₁ = 2), e já isola direto . Então vamos colocar a equação 2 lá em cima. Em seguida, note que a segunda coluna só aparece em linha 1 e 3; a linha 3 é , super simples, então a gente faz ela vir logo depois. Igualzinho com a coluna 3: só aparece na linha 1 e na 5; a linha 5 é . Então a ordem natural pra triangularizar é:
Equação original 2
Equação original 3
Equação original 5
Equação original 4
Equação original 1
Passo 3
Escrevendo o sistema nessa ordem:
(2)
(3)
(5)
(4)
(1)
Agora ele tá “triangular” no sentido de que cada nova equação só traz uma variável nova ou já resolvida.
Passo 4
Vamos resolver de cima pra baixo:
.
.
.
Passo 5
O que aprendemos?
• Trocar linhas (equações) não altera a solução do sistema.
• Se você aproveitar a estrutura esparsa e escolher bem a ordem, consegue um sistema triangular sem precisar fazer subtrações complicadas.
• Em geral, para matrizes esparsas, um pivotamento (permutações de linhas e/ou colunas) inteligente reduz o “fill-in” (os zeros que viram não-zeros) e torna a Eliminação de Gauss muito mais rápida e estável.
Resposta
Reordenando as linhas na sequência (2, 3, 5, 4, 1) o sistema fica triangular e a gente acha facilmente
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 1
De modo geral, permutar linhas em matrizes esparsas ajuda a manter a estrutura triangular e evita operações extras (fill-in), facilitando a aplicação da Eliminação de Gauss.