Uma pirâmide regular quadrangular foi seccionada por dois planos paralelos à sua base, formando dois troncos de pirâmides. Um dos troncos tem altura de 6 dm e suas bases possuem áreas de 36 dm^2 e 144 dm^2.
Sabendo que o segundo tronco da pirâmide tem sua base maior com área de 324 dm^2, determine:
A área total do segundo tronco de pirâmide.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma pirâmide quadrangular (base é um quadrado) e cortamos ela por dois planos paralelos à base, criando dois troncos de pirâmide. O primeiro tronco (o de cima, entre as duas seções) tem altura 6 dm e as áreas das suas bases são 36 dm² (base menor) e 144 dm² (base maior). O que a gente quer é a área total do segundo tronco, cujas bases têm áreas 144 dm² (menor) e 324 dm² (maior).
Conteúdo envolvido: semelhança de sólidos, escala de áreas, fórmula da área lateral e área total de tronco de pirâmide.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a altura total k2 = raiz144324 = 1218 = 23 da pirâmide original usando semelhança.
– Em pirâmides cortadas por plano paralelo à base, as áreas das seções variam com o quadrado da razão linear.
– Se a base total tem área 324 dm², e a seção no meio (onde começa o primeiro tronco) tem área 144 dm², a razão linear até essa seção é
k3 = raiz36324 = 618 = 13
– Já a seção de área 36 dm² tem razão linear
De
Num tronco, a “altura” entre essas duas seções é proporcional à diferença dessas razões vezes H3 = 6 Longrightarrow H = 18 dm :
Mas essa diferença de razão corresponde exatamente à altura do primeiro tronco, que é 6 dm. Então

Passo 3

Agora a altura do segundo tronco (entre a seção de razão Htronco2 = H,(1 - k2) = 18l(1 - tfrac23r) = 18cdottfrac13 = 6 dm e a base inteira) é

Passo 4

Precisamos das arestas dos quadrados das bases do segundo tronco:
– Base menor: área 144 dm² aresta dm.
– Base maior: área 324 dm² aresta dm.

Passo 5

Para a área lateral, usamos a fórmula do tronco de pirâmide quadrangular:
Alat = Pmenor + Pmaior2times l,
onde b - a2 = 18 - 122 = 3 dm , l = raizh^2 + l(tfracb-a2r)^2 = raiz6^2 + 3^2 = raiz36 + 9 = raiz45 = 3raiz5 dm e é a geratriz (slant height).
dm, dm.
– A geratriz vem do triângulo reto formado pela altura dm e pela meia diferença das arestas:
Então

Passo 6

Calculando a área lateral:
Alat = 48 + 722,times 3raiz5 = 1202,times 3raiz5 = 60cdot3raiz5 = 180raiz5 dm^2
Agora a área total do tronco é
Atotal = Alat + Abase menor + Abase maior = 180raiz5 + 144 + 324 = 180raiz5 + 468 dm^2

Resposta

A área total do segundo tronco de pirâmide vale
boxed180raiz5 + 468 dm^2

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