Uma pirâmide regular quadrangular foi seccionada por dois planos paralelos à sua base, formando dois troncos de pirâmides. Um dos troncos tem altura de 6 dm e suas bases possuem áreas de
e
.
Sabendo que o segundo tronco da pirâmide tem sua base maior com área de 324
, determine:
A área total do segundo tronco de pirâmide.
Sabendo que o segundo tronco da pirâmide tem sua base maior com área de 324
A área total do segundo tronco de pirâmide.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma pirâmide quadrangular (base é um quadrado) e cortamos ela por dois planos paralelos à base, criando dois troncos de pirâmide. O primeiro tronco (o de cima, entre as duas seções) tem altura 6 dm e as áreas das suas bases são 36 dm² (base menor) e 144 dm² (base maior). O que a gente quer é a área total do segundo tronco, cujas bases têm áreas 144 dm² (menor) e 324 dm² (maior).
Conteúdo envolvido: semelhança de sólidos, escala de áreas, fórmula da área lateral e área total de tronco de pirâmide.
Conteúdo envolvido: semelhança de sólidos, escala de áreas, fórmula da área lateral e área total de tronco de pirâmide.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a altura total
da pirâmide original usando semelhança.
– Em pirâmides cortadas por plano paralelo à base, as áreas das seções variam com o quadrado da razão linear.
– Se a base total tem área 324 dm², e a seção no meio (onde começa o primeiro tronco) tem área 144 dm², a razão linear até essa seção é
– Em pirâmides cortadas por plano paralelo à base, as áreas das seções variam com o quadrado da razão linear.
– Se a base total tem área 324 dm², e a seção no meio (onde começa o primeiro tronco) tem área 144 dm², a razão linear até essa seção é
– Já a seção de área 36 dm² tem razão linear
Num tronco, a “altura” entre essas duas seções é proporcional à diferença dessas razões vezes
:
Mas essa diferença de razão corresponde exatamente à altura do primeiro tronco, que é 6 dm. Então
Passo 3
Agora a altura do segundo tronco (entre a seção de razão
e a base inteira) é
Passo 4
Precisamos das arestas dos quadrados das bases do segundo tronco:
– Base menor: área 144 dm² aresta
dm.
– Base maior: área 324 dm² aresta
dm.
– Base menor: área 144 dm²
– Base maior: área 324 dm²
Passo 5
Para a área lateral, usamos a fórmula do tronco de pirâmide quadrangular:
onde
,
e
é a geratriz (slant height).
– dm,
dm.
– A geratriz vem do triângulo reto formado pela altura
dm e pela meia diferença das arestas:
–
– A geratriz
Então
Passo 6
Calculando a área lateral:
Agora a área total do tronco é
Resposta
A área total do segundo tronco de pirâmide vale