\left\{\begin{aligned} 2 x+y+3 z & =10 \\\ x+y+z & =6 \\\ x+3 y+2 z & =13 \end{aligned}\right.
e a solução inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T} e precisão \epsilon=10^{-2}
(a) Verifique a convergência pelo método das linhas e de Sassenfeld.
(b) Determine uma aproximação para o vetor solução x^{*} usando o método de Gauss Seidel com precisão \epsilon<10^{-2} e arredondamento de 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Verificar a convergência do método de Gauss–Seidel usando o critério das linhas (criterio de dominância diagonal por linhas) e o critério de Sassenfeld.
(b) Calcular uma aproximação do vetor solução [x^{*}) pelo método de Gauss–Seidel, partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}, com precisão \epsilon=10^{-2} e usando arredondamento a 4 casas decimais em cada passo.
As informações dadas (que vamos usar explicitamente) são o sistema linear
o vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}\], a precisão \(\epsilon=10^{-2} e a regra de arredondar a 4 casas decimais os valores obtidos em cada atualização.]
Passo 2
Explicando o critério das linhas (dominância diagonal por linhas), que é um teste simples de convergência:
Seja A=(a_{ij}) a matriz do sistema. Se, para todas as linhas i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|
(então dizemos que A é estritamente diagonalmente dominante por linhas), isso garante a convergência do método de Gauss–Seidel (e também de Jacobi) para qualquer inicial.
Vou aplicar esse teste ao nosso sistema. A matriz A é
Linha 1: |a_{11}|=|2| e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|3|=4. Como 2<4, a desigualdade estrita falha para a linha 1.
Linha 2: |a_{22}|=|1| e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|1|+|1|=2. Como 1<2, falha também.
Linha 3: |a_{33}|=|2| e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|1|+|3|=4. Como 2<4, falha também.
Conclusão parcial: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o critério das linhas NÃO garante convergência do método de Gauss–Seidel neste caso.
Passo 4
Agora explico o critério de Sassenfeld (outro teste prático de convergência para Gauss–Seidel):
Calcula-se uma sequência \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n definida recursivamente por
Se \max_i\beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer inicial. Se \max_i\beta_i\ge 1 o critério não garante convergência (pode ou não convergir na prática, mas não está garantido por Sassenfeld).
Vou calcular as \beta_i para a ordem natural das equações (1,2,3).
Portanto \max_i\beta_i=5,5\ge 1. Conclusão: o critério de Sassenfeld também NÃO garante convergência do método de Gauss–Seidel para este sistema.
Passo 6
Resumo do item (a): Nenhum dos dois critérios (dominância por linhas e Sassenfeld) garante convergência para nosso sistema. Isso não prova que o método diverge; apenas significa que não temos garantia teórica por esses critérios. Ainda assim, podemos aplicar o método de Gauss–Seidel numericamente e ver se ele converge na prática. Vamos proceder ao item (b).
Passo 7
Preparando o método de Gauss–Seidel (ensinando como fazer):
Reescrevemos cada equação isolando a incógnita correspondente (forma conveniente para iteração):
\begin{aligned} x &= \frac{10-y-3z}{2},\\[4pt] y &= 6 - x - z,\\[4pt] z &= \frac{13 - x - 3y}{2}. \end{aligned}
No Gauss–Seidel, cada componente na iteração k+1 usa imediatamente as componentes já atualizadas da iteração k+1 quando disponíveis (ou seja, atualizamos x, depois usamos esse x novo para calcular y, e assim por diante).
Critério de parada que vamos usar: norma infinito da diferença entre iterações sucessivas
Regra de arredondamento pedida: após calcular cada componente nova (por exemplo x em uma iteração), arredondamos esse valor a 4 casas decimais e usamos o valor arredondado nas próximas operações.
Agora faço as iterações começando de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Vou mostrar cada iteração, usando vírgula como separador decimal e 4 casas em cada componente após o arredondamento.]
Portanto a condição de parada \epsilon=10^{-2} foi satisfeita na iteração 11.
Passo 19
Interpretação e incentivo final: mesmo que os critérios teóricos (linhas e Sassenfeld) não garantissem convergência, a execução prática do método de Gauss–Seidel convergiu rapidamente e obteve uma aproximação estável ao redor de (2,00,\;3,00,\;1,00). Tá indo bem — esse comportamento (convergir mesmo sem garantia teórica) é comum; o importante é saber verificar tanto teoricamente quanto numericamente.
Resposta
(a) Não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (as três linhas falham), e o critério de Sassenfeld dá \beta_{1}=2,\\ \beta_{2}=3,\\ \beta_{3}=5,5 com \max\beta_{i}=5,5>1; portanto nenhum dos dois critérios garante convergência.
(b) Aproximação por Gauss–Seidel com \epsilon<10^{-2} e arredondamento a 4 casas: