Considere o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 2 x+y+3 z & =10 \\\ x+y+z & =6 \\\ x+3 y+2 z & =13 \end{aligned}\right.
e a solução inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T} e precisão \epsilon=10^{-2}
(a) Verifique a convergência pelo método das linhas e de Sassenfeld.
(b) Determine uma aproximação para o vetor solução x^{*} usando o método de Gauss Seidel com precisão \epsilon<10^{-2} e arredondamento de 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Verificar a convergência do método de Gauss–Seidel usando o critério das linhas (criterio de dominância diagonal por linhas) e o critério de Sassenfeld.
  2. (b) Calcular uma aproximação do vetor solução [x^{*}) pelo método de Gauss–Seidel, partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}, com precisão \epsilon=10^{-2} e usando arredondamento a 4 casas decimais em cada passo.
As informações dadas (que vamos usar explicitamente) são o sistema linear
\begin{cases} 2x+y+3z=10\\[4pt] x+y+z=6\\[4pt] x+3y+2z=13 \end{cases}
o vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}\], a precisão \(\epsilon=10^{-2} e a regra de arredondar a 4 casas decimais os valores obtidos em cada atualização.]

Passo 2

Explicando o critério das linhas (dominância diagonal por linhas), que é um teste simples de convergência:
  • Seja A=(a_{ij}) a matriz do sistema. Se, para todas as linhas i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|
(então dizemos que A é estritamente diagonalmente dominante por linhas), isso garante a convergência do método de Gauss–Seidel (e também de Jacobi) para qualquer inicial.
Vou aplicar esse teste ao nosso sistema. A matriz A é
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[2pt]1 & 1 & 1\\[2pt]1 & 3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Aplicando o critério das linhas a cada linha:
  • Linha 1: |a_{11}|=|2| e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|3|=4. Como 2<4, a desigualdade estrita falha para a linha 1.
  • Linha 2: |a_{22}|=|1| e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|1|+|1|=2. Como 1<2, falha também.
  • Linha 3: |a_{33}|=|2| e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|1|+|3|=4. Como 2<4, falha também.
Conclusão parcial: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o critério das linhas NÃO garante convergência do método de Gauss–Seidel neste caso.

Passo 4

Agora explico o critério de Sassenfeld (outro teste prático de convergência para Gauss–Seidel):
  • Calcula-se uma sequência \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n definida recursivamente por
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right).
  • Se \max_i\beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para qualquer inicial. Se \max_i\beta_i\ge 1 o critério não garante convergência (pode ou não convergir na prática, mas não está garantido por Sassenfeld).
Vou calcular as \beta_i para a ordem natural das equações (1,2,3).

Passo 5

Cálculo das \beta_i:
  • \beta_1=\dfrac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\dfrac{|1|+|3|}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
  • \beta_2=\dfrac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|}=\dfrac{|1|\cdot 2 + |1|}{1}=\dfrac{2+1}{1}=3.
  • \beta_3=\dfrac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|}=\dfrac{|1|\cdot 2 + |3|\cdot 3}{2}=\dfrac{2+9}{2}=\dfrac{11}{2}=5,5.
Portanto \max_i\beta_i=5,5\ge 1. Conclusão: o critério de Sassenfeld também NÃO garante convergência do método de Gauss–Seidel para este sistema.

Passo 6

Resumo do item (a): Nenhum dos dois critérios (dominância por linhas e Sassenfeld) garante convergência para nosso sistema. Isso não prova que o método diverge; apenas significa que não temos garantia teórica por esses critérios. Ainda assim, podemos aplicar o método de Gauss–Seidel numericamente e ver se ele converge na prática. Vamos proceder ao item (b).

Passo 7

Preparando o método de Gauss–Seidel (ensinando como fazer):
  • Reescrevemos cada equação isolando a incógnita correspondente (forma conveniente para iteração):
\begin{aligned} x &= \frac{10-y-3z}{2},\\[4pt] y &= 6 - x - z,\\[4pt] z &= \frac{13 - x - 3y}{2}. \end{aligned}
  • No Gauss–Seidel, cada componente na iteração k+1 usa imediatamente as componentes já atualizadas da iteração k+1 quando disponíveis (ou seja, atualizamos x, depois usamos esse x novo para calcular y, e assim por diante).
  • Critério de parada que vamos usar: norma infinito da diferença entre iterações sucessivas
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}=\max_i |x^{(k+1)}_i-x^{(k)}_i|<\epsilon.
  • Regra de arredondamento pedida: após calcular cada componente nova (por exemplo x em uma iteração), arredondamos esse valor a 4 casas decimais e usamos o valor arredondado nas próximas operações.
Agora faço as iterações começando de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Vou mostrar cada iteração, usando vírgula como separador decimal e 4 casas em cada componente após o arredondamento.]

Passo 8

Iteração 1 (partindo de x^{(0)}=(0,0,0)):
  • x^{(1)}=\dfrac{10-0-3\cdot 0}{2}=\dfrac{10}{2}=5 \Rightarrow x^{(1)}=5,0000.
  • y^{(1)}=6-5,0000-0=1 \Rightarrow y^{(1)}=1,0000.
  • z^{(1)}=\dfrac{13-5,0000-3\cdot 1,0000}{2}=\dfrac{13-5-3}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5 \Rightarrow z^{(1)}=2,5000.
Assim x^{(1)}=(5,0000,\;1,0000,\;2,5000)^{T}.
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=5>0,01. Continuamos.

Passo 9

Iteração 2:
  • x^{(2)}=\dfrac{10-1,0000-3\cdot 2,5000}{2}=\dfrac{10-1-7,5}{2}=\dfrac{1,5}{2}=0,75 \Rightarrow 0,7500.
  • y^{(2)}=6-0,7500-2,5000=2,75 \Rightarrow 2,7500.
  • z^{(2)}=\dfrac{13-0,7500-3\cdot 2,7500}{2}=\dfrac{13-0,75-8,25}{2}=\dfrac{4}{2}=2,0 \Rightarrow 2,0000.
x^{(2)}=(0,7500,\;2,7500,\;2,0000)^{T}.
Diferença máxima em relação à iteração anterior: 4,25>0,01. Continuamos.

Passo 10

Iteração 3:
  • x^{(3)}=\dfrac{10-2,7500-3\cdot 2,0000}{2}=\dfrac{10-2,75-6}{2}=\dfrac{1,25}{2}=0,6250.
  • y^{(3)}=6-0,6250-2,0000=3,3750.
  • z^{(3)}=\dfrac{13-0,6250-3\cdot 3,3750}{2}=\dfrac{13-0,625-10,125}{2}=\dfrac{2,25}{2}=1,1250.
x^{(3)}=(0,6250,\;3,3750,\;1,1250)^{T}.
Diferença máxima: 0,875>0,01. Continuamos.

Passo 11

Iteração 4:
  • x^{(4)}=\dfrac{10-3,3750-3\cdot 1,1250}{2}=\dfrac{10-3,375-3,375}{2}=\dfrac{3,25}{2}=1,6250.
  • y^{(4)}=6-1,6250-1,1250=3,2500.
  • z^{(4)}=\dfrac{13-1,6250-3\cdot 3,2500}{2}=\dfrac{13-1,625-9,75}{2}=\dfrac{1,625}{2}=0,8125.
x^{(4)}=(1,6250,\;3,2500,\;0,8125)^{T}.
Diferença máxima: 1,0000>0,01. Continuamos.

Passo 12

Iteração 5:
  • x^{(5)}=\dfrac{10-3,2500-3\cdot 0,8125}{2}=\dfrac{10-3,25-2,4375}{2}=\dfrac{4,3125}{2}=2,15625\Rightarrow 2,1563. (arredondei para 4 casas)
  • y^{(5)}=6-2,1563-0,8125=3,0312 (usando x^{(5)} arredondado) \Rightarrow 3,0312.
  • z^{(5)}=\dfrac{13-2,1563-3\cdot 3,0312}{2}=\dfrac{13-2,1563-9,0936}{2}=\dfrac{1,7501}{2}=0,87505\Rightarrow 0,8751.
x^{(5)}=(2,1563,\;3,0312,\;0,8751)^{T}.
Diferença máxima: 0,5313>0,01. Continuamos.

Passo 13

Iteração 6:
  • x^{(6)}=\dfrac{10-3,0312-3\cdot 0,8751}{2}=\dfrac{10-3,0312-2,6253}{2}=\dfrac{4,3435}{2}=2,17175\Rightarrow 2,1718.
  • y^{(6)}=6-2,1718-0,8751=2,9531.
  • z^{(6)}=\dfrac{13-2,1718-3\cdot 2,9531}{2}=\dfrac{13-2,1718-8,8593}{2}=\dfrac{1,9689}{2}=0,98445\Rightarrow 0,9845.
x^{(6)}=(2,1718,\;2,9531,\;0,9845)^{T}.
Diferença máxima: 0,1094>0,01. Continuamos.

Passo 14

Iteração 7:
  • x^{(7)}=\dfrac{10-2,9531-3\cdot 0,9845}{2}=\dfrac{10-2,9531-2,9535}{2}=\dfrac{4,0934}{2}=2,0467.
  • y^{(7)}=6-2,0467-0,9845=2,9688.
  • z^{(7)}=\dfrac{13-2,0467-3\cdot 2,9688}{2}=\dfrac{13-2,0467-8,9064}{2}=\dfrac{2,0469}{2}=1,02345\Rightarrow 1,0235.
x^{(7)}=(2,0467,\;2,9688,\;1,0235)^{T}.
Diferença máxima: 0,1251>0,01. Continuamos.

Passo 15

Iteração 8:
  • x^{(8)}=\dfrac{10-2,9688-3\cdot 1,0235}{2}=\dfrac{10-2,9688-3,0705}{2}=\dfrac{3,9607}{2}=1,98035\Rightarrow 1,9804.
  • y^{(8)}=6-1,9804-1,0235=2,9961.
  • z^{(8)}=\dfrac{13-1,9804-3\cdot 2,9961}{2}=\dfrac{13-1,9804-8,9883}{2}=\dfrac{2,0313}{2}=1,01565\Rightarrow 1,0157.
x^{(8)}=(1,9804,\;2,9961,\;1,0157)^{T}.
Diferença máxima: 0,0663>0,01. Continuamos.

Passo 16

Iteração 9:
  • x^{(9)}=\dfrac{10-2,9961-3\cdot 1,0157}{2}=\dfrac{10-2,9961-3,0471}{2}=\dfrac{3,9568}{2}=1,9784.
  • y^{(9)}=6-1,9784-1,0157=3,0059.
  • z^{(9)}=\dfrac{13-1,9784-3\cdot 3,0059}{2}=\dfrac{13-1,9784-9,0177}{2}=\dfrac{2,0039}{2}=1,0020.
x^{(9)}=(1,9784,\;3,0059,\;1,0020)^{T}.
Diferença máxima: 0,0137>0,01. Continuamos.

Passo 17

Iteração 10:
  • x^{(10)}=\dfrac{10-3,0059-3\cdot 1,0020}{2}=\dfrac{10-3,0059-3,0060}{2}=\dfrac{3,9881}{2}=1,99405\Rightarrow 1,9941.
  • y^{(10)}=6-1,9941-1,0020=3,0039.
  • z^{(10)}=\dfrac{13-1,9941-3\cdot 3,0039}{2}=\dfrac{13-1,9941-9,0117}{2}=\dfrac{1,9942}{2}=0,9971.
x^{(10)}=(1,9941,\;3,0039,\;0,9971)^{T}.
Diferença máxima: 0,0157>0,01. Continuamos.

Passo 18

Iteração 11:
  • x^{(11)}=\dfrac{10-3,0039-3\cdot 0,9971}{2}=\dfrac{10-3,0039-2,9913}{2}=\dfrac{4,0048}{2}=2,0024.
  • y^{(11)}=6-2,0024-0,9971=3,0005.
  • z^{(11)}=\dfrac{13-2,0024-3\cdot 3,0005}{2}=\dfrac{13-2,0024-9,0015}{2}=\dfrac{1,9961}{2}=0,99805\Rightarrow 0,9981.
x^{(11)}=(2,0024,\;3,0005,\;0,9981)^{T}.
Agora a diferença entre iterações 11 e 10 é
\|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}=\max\{ |2,0024-1,9941|,\;|3,0005-3,0039|,\;|0,9981-0,9971|\} = 0,0083<0,01.
Portanto a condição de parada \epsilon=10^{-2} foi satisfeita na iteração 11.

Passo 19

Interpretação e incentivo final: mesmo que os critérios teóricos (linhas e Sassenfeld) não garantissem convergência, a execução prática do método de Gauss–Seidel convergiu rapidamente e obteve uma aproximação estável ao redor de (2,00,\;3,00,\;1,00). Tá indo bem — esse comportamento (convergir mesmo sem garantia teórica) é comum; o importante é saber verificar tanto teoricamente quanto numericamente.

Resposta

(a) Não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (as três linhas falham), e o critério de Sassenfeld dá \beta_{1}=2,\\ \beta_{2}=3,\\ \beta_{3}=5,5 com \max\beta_{i}=5,5>1; portanto nenhum dos dois critérios garante convergência.
(b) Aproximação por Gauss–Seidel com \epsilon<10^{-2} e arredondamento a 4 casas:
x^{*}\approx(2,0024,\;3,0005,\;0,9981)^{T}.

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