Construa um sistema A x=b em que a matriz A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}: \operatorname{det}\left(A_{k}\right)>0 ; k=1,2 ; \operatorname{det}(A)> 0 e A seja simétrica. Atribua valores numéricos para a_{i j} ; i=1,2,3 ; j=1,2,3. A matriz A \in \mathbb{R} deve ser não diagonal.
(a) Atribua valores numéricos para b_{i} ; i=1,2,3. Resolva o sistema A x=b pelo Método de Cholesky.
(b) Determine a segunda coluna da matriz inversa de A por esse método.
(c) Determine a inversa da matriz A pelo Método de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede que eu construa um sistema linear A x=b com A\in\mathbb{R}^{3\times3} que seja simétrica, não diagonal, e tal que os determinantes dos principais menores sejam positivos: \det(A_1)>0, \det(A_2)>0 e \det(A)>0. Em seguida, devo:
(a) atribuir valores numéricos a b e resolver A x=b pelo Método de Cholesky;
(b) determinar a segunda coluna de A^{-1} usando o mesmo método (isto é, resolvendo A x=e_2);
(c) determinar a inversa de A pelo Método de Gauss.
Vou escolher a matriz A e o vetor b explicitamente (valores simples, que atendam às condições):
Portanto a escolha satisfaz todas as condições: A é simétrica, não diagonal, e tem todos os determinantes principais positivos.]
Passo 2
Vou aplicar o Método de Cholesky para decompor A em A=L\,L^{T}, onde L é triangular inferior com entradas positivas na diagonal. Explicando a fórmula básica: se
Agora resolvo A x=b usando A=L\,L^{T}. A ideia é primeiro resolver L y=b (substituição direta — “forward substitution”) e depois resolver L^{T} x=y (“back substitution”).
(b) Para obter a segunda coluna de A^{-1} usando o Método de Cholesky, resolvo A x = e_{2}, onde e_{2}=(0,1,0)^{T}. Uso a mesma decomposição A=L\,L^{T} e repito forward/back substitution.
que é equivalente a \dfrac{1}{19}(-2,\;7,\;1)^{T} (note \tfrac{77}{209}=\tfrac{7}{19}).]
Passo 5
(c) Agora encontro A^{-1} pelo Método de Gauss-Jordan (eliminação de Gauss para inverter). Escrevo a matriz aumentada [A\mid I] e realizo operações elementares até obter [I\mid A^{-1}]. Vou mostrar as operações principais e os resultados intermediários (fazendo as contas cuidadosamente).