a. Verifique se o sistema admite solução única.
b. Resolva usando o método direto de eliminação de Gauss.
c. Obtenha a fatoração LU;
d. Caso necessário realize o refinamento da solução de modo a obter uma solução com pelo menos três digitos corretos;
As perguntas são:
a. Verificar se o sistema admite solução única.
b. Resolver o sistema usando eliminação de Gauss (método direto).
c. Obter a fatoração LU (sem pivotamento, se possível).
d. Se necessário, realizar refinamento da solução para obter pelo menos três dígitos corretos.
Ideia do método: usamos operações elementares (subtrair múltiplos de uma linha por outra) para triangularizar a matriz (obter uma matriz triangular superior U). Os múltiplos usados para eliminar abaixo do pivô formam a matriz L (com uns na diagonal). Vou executar passo a passo e explicar cada multiplicador.]
Assim, a solução obtida pelo método direto é \;x_{1}=1,\;x_{2}=2,\;x_{3}=3.
Passo 7
Construção da fatoração LU a partir dos multiplicadores (explicação didática).
Definição prática: ao fazer eliminação sem permutações de linhas, a matriz L tem 1s na diagonal e os multiplicadores m_{ij} usados para eliminar abaixo do pivô nas posições correspondentes. Nós obtivemos:
Para verificar, explique rápido: multiplicando L por U recuperamos A. (Se quiser conferir, multiplique linha a linha; neste caso retorna exatamente a matriz A.)]
Passo 8
Refinamento da solução (quando e como fazer) e aplicação aqui.
O procedimento de refinamento iterativo (iterative refinement) consiste em:
Calcular o resíduo \;r=b-A\hat{x}, onde \hat{x} é a solução aproximada.
Resolver A\,\delta = r (usando a fatoração LU já obtida) para obter correção \delta.
Atualizar \hat{x}\leftarrow \hat{x}+\delta e repetir até a precisão desejada.
No nosso caso, verifiquemos o resíduo com a solução exata encontrada. Calcule A x para x=(1,2,3)^\top:
Então A x=b, logo o resíduo é r=b-Ax=0. Como o resíduo é nulo, não há correção necessária; a solução já é exata (logo tem infinitos dígitos corretos, em particular pelo menos três dígitos corretos). Portanto o refinamento não é necessário.]
Resposta
a) Sim; \det(A)=-20\neq0, logo há solução única.
b) \;x_{1}=1,\;x_{2}=2,\;x_{3}=3.
c) \displaystyle L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]2&1&0\\[4pt]1&3&1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}2&3&-1\\[4pt]0&-2&-1\\[4pt]0&0&5\end{pmatrix}.
d) Não foi necessário refinamento, pois o resíduo é r=b-Ax=0 e a solução já tem pelo menos três dígitos corretos.]