Considere um sistema de ponto flutuante F(10,3,-2,2), isto é, base 10 , mantissa com 3 dígitos e expoente variando de -2 a 2 .
Para os números abaixo, escreva sua representação no sistema utilizando arredondamento e truncamento. Caso não seja possível representar, indique se ocorre underflow ou overflow.
(d) 78,456

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Sistema de ponto flutuante: F(10,3,-2,2). Ou seja:
    • base \beta=10,
    • mantissa com t=3 dígitos significativos,
    • expoente e permitido em -2 \le e \le 2.
  • Número a representar: 78,456.
  • Pedidos:
    • escrever a representação usando truncamento (chopping);
    • escrever a representação usando arredondamento (rounding);
    • indicar se ocorre underflow ou overflow, quando aplicável.

Passo 2

Entendendo o formato e as regras que vou usar (explicação didática):
  • Forma normalizada: qualquer número não nulo deve ser escrito como \pm(d_1.d_2d_3)\times10^{e},onde d_1 é um dígito não nulo ( 1 a 9) e há exatamente t=3 dígitos significativos d_1,d_2,d_3. Assim a mantissa tem 3 dígitos no total.
  • Limites do expoente: só posso usar e=-2,-1,0,1,2. Se o expoente necessário ficar fora desse intervalo, teremos overflow (expoente maior que 2) ou underflow (expoente menor que -2).
  • Truncamento (chopping): descartar todos os dígitos além dos t primeiros, sem ajustar o último dígito retido.
  • Arredondamento para o mais próximo (round to nearest): olhar o primeiro dígito descartado; se for \ge 5 aumenta-se o último dígito retido em 1 (com tratamento de “carrego” se necessário), se for <5 mantém-se o último dígito retido.

Passo 3

Colocar o número na forma normalizada (científica) antes de aplicar truncamento ou arredondamento:
  • O número é 78,456. Em notação científica base 10: 78,456 = 7,8456\times10^{1}.Aqui a mantissa 7,8456 tem o primeiro dígito não nulo 7, e o expoente é e=1. Note que e=1 está dentro do intervalo permitido -2\le e\le2, então, em princípio, representação é possível.

Passo 4

Aplicar truncamento (chopping) com t=3 dígitos significativos:
  • Da mantissa 7,8456 eu mantenho os três primeiros dígitos significativos: 7,8,4. Isso dá a mantissa truncada 7,84.
  • Portanto, a representação por truncamento é 7,84\times10^{1}.
  • Convertendo para forma decimal habitual, isso representa o número 7,84\times10^{1}=78,4.

Passo 5

Aplicar arredondamento (round to nearest) com t=3 dígitos significativos:
  • Mantissa original: 7,8456. Os três primeiros dígitos são 7,8,4. O primeiro dígito descartado é 5; há dígitos seguintes (o 6), então o padrão de arredondamento manda arredondar para cima.
  • Ao arredondar, o último dígito retido 4 aumenta para 5, ficando a mantissa 7,85.
  • Portanto, a representação por arredondamento é 7,85\times10^{1}.
  • Em forma decimal, isso representa 7,85\times10^{1}=78,5.

Passo 6

Verificação de underflow/overflow e observações finais:
  • O expoente resultante em ambos os casos é e=1, que está dentro do intervalo permitido -2\le e\le2. Logo não há underflow nem overflow.
  • Observação útil para a prova: se o arredondamento tivesse transformado a mantissa em algo como 9,99\ldots que ao aumentar provocasse 10,0\ldots, então haveria necessidade de re-normalizar (ficaria 1,00\times10^{e+1}) e isso poderia levar a overflow se e+1 excedesse o limite. Aqui isso não ocorre.

Resposta

Arredondamento: 7,85\times10^{1} (representa 78,5).
Truncamento: 7,84\times10^{1} (representa 78,4).

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