(a) (3 pontos) Resolva o sistema utilizando a decomposição LU da matriz dos coeficientes.
(b) ( 1 ponto) Use a decomposição LU para calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
As perguntas são:
(a) Resolva o sistema usando a decomposição LU da matriz dos coeficientes.
(b) Use a decomposição LU para calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
Informações relevantes dadas: a matriz dos coeficientes é
O que é e como vamos usar a decomposição LU (explicação didática e intuitiva).
Queremos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L (com 1 na diagonal principal) e uma matriz triangular superior U:
A = L U.
Ideia prática: executar eliminação de Gauss sem permutações (sem pivoteamento) para obter U; os multiplicadores usados para zerar abaixo do pivô viram as entradas de L. Esses multiplicadores são os coeficientes m_{ij} que multiplicam a linha i pela linha j durante a eliminação. Depois, para resolver Ax=b fazemos duas etapas:
Resolver L y = b por substituição progressiva (forward substitution).
Resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution).
Vou aplicar o método passo a passo e explicar cada conta.
Passo 3
Começamos a eliminação de Gauss sobre A, calculando os multiplicadores da coluna 1 (usar o primeiro pivô a_{11}=2).
Multiplicadores:
Agora zeramos as entradas abaixo de a_{11} fazendo R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Façamos as contas coordenada a coordenada:
É bom entender: L armazena os multiplicadores usados para eliminar A até chegar em U. Podemos verificar mentalmente que LU retorna A (não preciso multiplicar tudo aqui, mas é consistente com os passos).]
Passo 6
Agora resolvemos A x = b usando o fatoramento A=LU. Primeiro resolvemos L y = b por substituição progressiva. Escrevemos as equações de L y = b:
Pequeno reforço didático: na prova, se você obtiver L e U como fiz aqui, basta duas substituições (progressiva e regressiva) — nada de calcular inversas.]
Passo 9
Agora (parte b) usamos o fatoramento A=LU para calcular o determinante. Observações importantes e fáceis:
\det(L)=1 porque L é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1.
\det(A)=\det(L)\det(U)=1\cdot\det(U).
Como U é triangular superior, \det(U) é o produto dos elementos da diagonal de U: