Considere que a temperatura ( \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C} ) em um processo químico foi medida em dois instantes de tempo, com os seguintes dados:
  • No tempo \mathrm{x}_{0}=2 horas, a temperatura medida foi \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=55^{\circ} \mathrm{C} e a taxa de variação da temperatura era f^{\prime}\left(x_{0}\right)=6^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{h}.
  • No tempo \mathrm{x}_{1}=4 horas, a temperatura medida foi \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=63^{\circ} \mathrm{C} e a taxa de variação da temperatura era f^{\prime}\left(x_{1}\right)=4^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{h}.
    a) Determine o polinômio interpolador de Hermite \mathbf{H}(\mathbf{x}) para esse conjunto de dados.
    b) Use o polinômio obtido para estimar a temperatura no instante \mathbf{x}=\mathbf{3} horas.

Passo 1

O enunciado dá dois pares de informação (valor da função e valor da derivada) em dois instantes de tempo e pede: (a) o polinômio interpolador de Hermite H(x) que reproduz esses valores e derivadas; (b) a estimativa da temperatura em x=3 horas usando esse polinômio. \n\nDados fornecidos: \n - x_{0}=2 horas, f(x_{0})=55^\circ\mathrm{C} e f'(x_{0})=6^\circ\mathrm{C}/\mathrm{h}. \n - x_{1}=4 horas, f(x_{1})=63^\circ\mathrm{C} e f'(x_{1})=4^\circ\mathrm{C}/\mathrm{h}. \n\nPerguntas: \n - (a) Determinar o polinômio de Hermite H(x) que satisfaz esses quatro condicionamentos. \n - (b) Calcular H(3) para estimar a temperatura às 3 horas.

Passo 2

O que é o interpolador de Hermite (explicação didática e intuitiva). \n\nHermite interpola não só os valores da função nos nós, mas também as derivadas. Com dois nós x_0 e x_1 e as correspondentes derivadas, o polinômio de menor grau que consegue impor esses quatro condicionamentos é um polinômio de grau no máximo 3 (cúbico). Uma forma prática e sistemática de construir esse cúbico é usar as funções base de Hermite sobre a variável adimensional \,s\in[0,1]\, definida por s=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}. \n\nEssas bases (funções de forma) são: \n[\begin{aligned}
h_{00}(s)&=2s{3}-3s{2}+1,\[4pt]
h_{10}(s)&=s{3}-2s{2}+s,\[4pt]
h_{01}(s)&=-2s{3}+3s{2},\[4pt]
h_{11}(s)&=s{3}-s{2}.
\end{aligned}] \n\nElas têm propriedades úteis: h_{00}(0)=1,\;h_{00}(1)=0, h_{01}(0)=0,\;h_{01}(1)=1, e h_{10},h_{11} ligam as derivadas (são nulas nos valores, mas com derivadas adequadas). O polinômio de Hermite cúbico escreve-se então como H(x)=f(x_{0})\,h_{00}(s)+(x_{1}-x_{0})f'(x_{0})\,h_{10}(s)+f(x_{1})\,h_{01}(s)+(x_{1}-x_{0})f'(x_{1})\,h_{11}(s).]

Passo 3

Aplicando a fórmula do Passo 2 aos nossos dados. \n\nAqui x_{0}=2, x_{1}=4 então \,x_{1}-x_{0}=2 e s=\frac{x-2}{2}. Substituindo f(x_{0})=55, f'(x_{0})=6, f(x_{1})=63, f'(x_{1})=4 na expressão de H(x) obtemos: H(x)=55\,h_{00}(s)+2\cdot 6\,h_{10}(s)+63\,h_{01}(s)+2\cdot 4\,h_{11}(s). Para simplificar, escrevo os fatores numéricos: 2\cdot 6=12 e 2\cdot 4=8. Então H(x)=55\,h_{00}(s)+12\,h_{10}(s)+63\,h_{01}(s)+8\,h_{11}(s).

Passo 4

Expansão em s: substituo as expressões das bases h_{00},h_{10},h_{01},h_{11}. \n\nLembro: \begin{aligned} h_{00}(s)&=2s^{3}-3s^{2}+1,\\\ h_{10}(s)&=s^{3}-2s^{2}+s,\\\ h_{01}(s)&=-2s^{3}+3s^{2},\\\ h_{11}(s)&=s^{3}-s^{2}. \end{aligned} Substituindo em H(x) temos \begin{aligned} H(x)&=55(2s^{3}-3s^{2}+1)+12(s^{3}-2s^{2}+s)\\\ &\quad+63(-2s^{3}+3s^{2})+8(s^{3}-s^{2}). \end{aligned}

Passo 5

Combino termos em potências de s. Vou juntar coeficientes para s^{3}, s^{2}, s e o termo constante: \n\nCoeficiente de s^{3}: 55\cdot 2 + 12\cdot 1 + 63\cdot(-2) + 8\cdot 1 = 110 + 12 -126 + 8 = 4. \n\nCoeficiente de s^{2}: 55\cdot(-3) + 12\cdot(-2) + 63\cdot 3 + 8\cdot(-1) = -165 -24 +189 -8 = -8. \n\nCoeficiente de s: vem só do termo com 12: 12. \n\nConstante: 55\cdot 1 = 55. \n\nPortanto H(x)=4s^{3}-8s^{2}+12s+55, com s=\dfrac{x-2}{2}.

Passo 6

Agora volto a variável x substituindo s=\dfrac{x-2}{2}. Para facilitar, chamo t=x-2 então s=\dfrac{t}{2}. \n\nCalculo as potências: s=\dfrac{t}{2}, s^{2}=\dfrac{t^{2}}{4}, s^{3}=\dfrac{t^{3}}{8}. Substituindo em H: \begin{aligned} H(x)&=4\left(\frac{t^{3}}{8}\right)-8\left(\frac{t^{2}}{4}\right)+12\left(\frac{t}{2}\right)+55\\[4pt] &=\frac{1}{2}t^{3}-2t^{2}+6t+55. \end{aligned}]

Passo 7

Agora expando em x lembrando t=x-2. Escrevo \dfrac{1}{2}(x-2)^{3}-2(x-2)^{2}+6(x-2)+55 e expandirei termo a termo: \n\n (x-2)^{3}=x^{3}-6x^{2}+12x-8. Multiplicando por \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x-4. \n\n (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4. Multiplicando por -2 -2x^{2}+8x-8. \n\n 6(x-2)=6x-12. \n\nSomando todos os termos: \begin{aligned} H(x)&=\left(\tfrac{1}{2}x^{3}\right) +(-3x^{2}-2x^{2}) +(6x+8x+6x) +(-4-8-12+55)\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}x^{3}-5x^{2}+20x+31. \end{aligned}]

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): \n\nAvalio em x=2: H(2)=\tfrac{1}{2}\cdot 8 -5\cdot 4 +20\cdot 2 +31 =4-20+40+31=55, que coincide com f(x_{0}). \n\nAvalio em x=4: H(4)=\tfrac{1}{2}\cdot 64 -5\cdot 16 +20\cdot 4 +31 =32-80+80+31=63, que coincide com f(x_{1}). \n\nDerivando H: H'(x)=\tfrac{3}{2}x^{2}-10x+20. Avalio H'(2)=\tfrac{3}{2}\cdot 4 -20+20=6 e H'(4)=\tfrac{3}{2}\cdot 16 -40+20=4, que coincidem com as derivadas dadas. Assim o polinômio está correto.

Passo 9

Estimativa em x=3. Podemos usar a forma em s ou a forma desenvolvida em x. Usando a forma em s: s=\frac{3-2}{2}=\tfrac{1}{2}. Então \begin{aligned} H(3)&=4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}-8\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+12\left(\tfrac{1}{2}\right)+55\\[4pt] &=4\cdot\tfrac{1}{8}-8\cdot\tfrac{1}{4}+6+55\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}-2+6+55=59,\!5. \end{aligned} \n\n(Usei vírgula decimal conforme notação pedida: 59,5.)]

Resposta

H(x)=\frac{1}{2}x^{3}-5x^{2}+20x+31
H(3)=59,5^\circ\mathrm{C}

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