Considere que a temperatura (
) em um processo químico foi medida em dois instantes de tempo, com os seguintes dados:
- No tempo
horas, a temperatura medida foi
e a taxa de variação da temperatura era
.
- No tempo
horas, a temperatura medida foi
e a taxa de variação da temperatura era
.
a) Determine o polinômio interpolador de Hermite
para esse conjunto de dados.
b) Use o polinômio obtido para estimar a temperatura no instante
horas.
a) Determine o polinômio interpolador de Hermite
b) Use o polinômio obtido para estimar a temperatura no instante
Passo 1
O enunciado dá dois pares de informação (valor da função e valor da derivada) em dois instantes de tempo e pede: (a) o polinômio interpolador de Hermite
que reproduz esses valores e derivadas; (b) a estimativa da temperatura em
horas usando esse polinômio. \n\nDados fornecidos: \n
horas,
e
. \n
horas,
e
. \n\nPerguntas: \n
(a) Determinar o polinômio de Hermite
que satisfaz esses quatro condicionamentos. \n
(b) Calcular
para estimar a temperatura às 3 horas.
Passo 2
O que é o interpolador de Hermite (explicação didática e intuitiva). \n\nHermite interpola não só os valores da função nos nós, mas também as derivadas. Com dois nós
e
e as correspondentes derivadas, o polinômio de menor grau que consegue impor esses quatro condicionamentos é um polinômio de grau no máximo 3 (cúbico). Uma forma prática e sistemática de construir esse cúbico é usar as funções base de Hermite sobre a variável adimensional
definida por
\n\nEssas bases (funções de forma) são: \n[\begin{aligned}
h_{00}(s)&=2s{3}-3s{2}+1,\[4pt]
h_{10}(s)&=s{3}-2s{2}+s,\[4pt]
h_{01}(s)&=-2s{3}+3s{2},\[4pt]
h_{11}(s)&=s{3}-s{2}.
\end{aligned}] \n\nElas têm propriedades úteis: ,
, e
ligam as derivadas (são nulas nos valores, mas com derivadas adequadas). O polinômio de Hermite cúbico escreve-se então como
]
h_{10}(s)&=s{3}-2s{2}+s,\[4pt]
h_{01}(s)&=-2s{3}+3s{2},\[4pt]
h_{11}(s)&=s{3}-s{2}.
\end{aligned}] \n\nElas têm propriedades úteis:
Passo 3
Aplicando a fórmula do Passo 2 aos nossos dados. \n\nAqui
,
então
e
Substituindo
,
,
,
na expressão de
obtemos:
Para simplificar, escrevo os fatores numéricos:
e
. Então
Passo 4
Expansão em
: substituo as expressões das bases
. \n\nLembro:
Substituindo em
temos
Passo 5
Combino termos em potências de
. Vou juntar coeficientes para
,
,
e o termo constante: \n\nCoeficiente de
:
\n\nCoeficiente de
:
\n\nCoeficiente de
: vem só do termo com 12:
. \n\nConstante:
. \n\nPortanto
com
.
Passo 6
Agora volto a variável
substituindo
. Para facilitar, chamo
então
. \n\nCalculo as potências:
,
,
. Substituindo em
:
]
Passo 7
Agora expando em
lembrando
. Escrevo
e expandirei termo a termo: \n\n
. Multiplicando por
dá
. \n\n
. Multiplicando por
dá
. \n\n
\n\nSomando todos os termos:
]
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): \n\nAvalio em
:
que coincide com
. \n\nAvalio em
:
que coincide com
. \n\nDerivando
:
Avalio
e
, que coincidem com as derivadas dadas. Assim o polinômio está correto.
Passo 9
Estimativa em
. Podemos usar a forma em
ou a forma desenvolvida em
. Usando a forma em
:
Então
\n\n(Usei vírgula decimal conforme notação pedida:
.)]