Considere o sistema linear
A=\left[\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{l} 5 \\\\ 2 \\\\ 5 \end{array}\right]
com ponto inicial
\mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right] .
(a) (2 pontos) Calcule duas iteraçōes do método de Gauss-Seidel para este sistema, partindo de \mathbf{x}^{(0)}.
(b) ( 2.5 pontos) Além do método iterativo usado em (a), sugira um método direto para resolver esse sistema e explique por que ele pode ser vantajoso.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
A=\left[\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right],\quad b=\left[\begin{array}{l} 5 \\\\ 2 \\\\ 5 \end{array}\right]
e o ponto inicial
\mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right].
Perguntas pedidas:
(a) Calcular duas iterações do método de Gauss–Seidel partindo de \mathbf{x}^{(0)}.
(b) Sugerir um método direto para resolver o sistema e explicar por que ele pode ser vantajoso.

Passo 2

Vamos lembrar como funciona o método de Gauss–Seidel de forma didática. Para um sistema \,A\mathbf{x}=b com A=(a_{ij}), a iteração de Gauss–Seidel atualiza cada componente x_i usando a fórmula
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}\right).
Explicando cada parte:
  • x_i^{(k+1)} é o novo valor da componente i na iteração k+1.
  • a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i.
  • Na soma com j<i usamos já os valores atualizados x_j^{(k+1)} (é a diferença essencial do Gauss–Seidel em relação ao Jacobi).
  • Na soma com j>i usamos os valores antigos x_j^{(k)}.
    O método costuma convergir quando A é estritamente diagonalmente dominante por linha ou simétrica definida positiva. Aqui cada linha de A satisfaz 4>1+1, então a convergência está garantida.

Passo 3

Aplicamos a fórmula linha a linha para a iteração k=0\) -> \(k+1=1\). Escrevo as equações do sistema: \[\begin{cases} 4x_1 + x_2 + x_3 = 5,\\[4pt] x_1 + 4x_2 + x_3 = 2,\\[4pt] x_1 + x_2 + 4x_3 = 5. \end{cases}
Usaremos (\mathbf{x}{(0)}=(1,1,1)\top].]

Passo 4

Calcular x_1^{(1)} usando a primeira equação:
x_1^{(1)}=\frac{1}{4}\bigl(5 - x_2^{(0)} - x_3^{(0)}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(5-1-1\bigr) =\frac{3}{4}=0,75.

Passo 5

Agora x_2^{(1)} usando a segunda equação e o x_1^{(1)} já atualizado:
x_2^{(1)}=\frac{1}{4}\bigl(2 - x_1^{(1)} - x_3^{(0)}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(2-0,75-1\bigr) =\frac{0,25}{4}=0,0625.

Passo 6

Agora x_3^{(1)} com a terceira equação, usando x_1^{(1)} e x_2^{(1)}:
x_3^{(1)}=\frac{1}{4}\bigl(5 - x_1^{(1)} - x_2^{(1)}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(5-0,75-0,0625\bigr) =\frac{4,1875}{4}=1,046875.
Portanto
\mathbf{x}^{(1)}=\left[\begin{array}{r} 0,75\\[2pt] 0,0625\\[2pt] 1,046875 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora fazemos a segunda iteração k=1 -> k+1=2. Primeiro x_1^{(2)} usando x_2^{(1)} e x_3^{(1)}:
x_1^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(5 - x_2^{(1)} - x_3^{(1)}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(5-0,0625-1,046875\bigr) =\frac{3,890625}{4}=0,97265625.

Passo 8

Em seguida x_2^{(2)} usando x_1^{(2)} (atual) e x_3^{(1)} (antigo):
x_2^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(2 - x_1^{(2)} - x_3^{(1)}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(2-0,97265625-1,046875\bigr) =\frac{-0,01953125}{4}=-0,0048828125.

Passo 9

Por fim x_3^{(2)} usando x_1^{(2)} e x_2^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(5 - x_1^{(2)} - x_2^{(2)}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(5-0,97265625-(-0,0048828125)\bigr) =\frac{4,0322265625}{4}=1,008056640625.
Assim
\mathbf{x}^{(2)}=\left[\begin{array}{r} 0,97265625\\[2pt] -0,0048828125\\[2pt] 1,008056640625 \end{array}\right].]

Passo 10

Agora a parte (b): sugerir um método direto e explicar a vantagem. Uma boa escolha aqui é a decomposição de Cholesky, porque A é simétrica e definida positiva (os autovalores são positivos: 3 com multiplicidade 2 e 6 com multiplicidade 1), então existe L triangular inferior tal que A=LL^\top. A vantagem do Cholesky é que é um método direto (resolve em número finito de operações, não depende de iterações) e é computacionalmente eficiente e numericamente estável para matrizes simétricas definidas positivas (aproximadamente metade do custo de uma decomposição LU genérica).

Passo 11

Vou mostrar a decomposição de Cholesky e como ela resolve o sistema, isso também dá a solução exata (útil na prova). Procuramos L com
L=\left[\begin{array}{ccc} \ell_{11} & 0 & 0\\\ \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{array}\right],\quad LL^\top=A.
Calculemos os elementos:
\ell_{11}=\sqrt{4}=2.
\ell_{21}=\frac{1}{\ell_{11}}= \frac{1}{2}=0,5,\qquad \ell_{31}=\frac{1}{\ell_{11}}=\frac{1}{2}=0,5.
\ell_{22}=\sqrt{4-\ell_{21}^2}=\sqrt{4-0,25}=\sqrt{\tfrac{15}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}\approx1,936491673.
\ell_{32}=\frac{1-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}}=\frac{1-0,5\cdot0,5}{\ell_{22}} =\frac{0,75}{\ell_{22}}=\frac{3}{2\sqrt{15}}\approx0,3872983346.
\ell_{33}=\sqrt{4-\ell_{31}^2-\ell_{32}^2} =\sqrt{4-0,25-0,15}=\sqrt{3,6}=\sqrt{\tfrac{18}{5}}\approx1,897366596.
Portanto L é (escrevo aproximado)
L=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\[2pt] 0,5 & 1,936491673 & 0\\[2pt] 0,5 & 0,3872983346 & 1,897366596 \end{array}\right].]

Passo 12

Resolver A\mathbf{x}=b com Cholesky faz duas substituições:
  1. resolver L\mathbf{y}=b por substituição direta (forward):
y_1=\frac{5}{2}=2,5,
y_2=\frac{2-\ell_{21}y_1}{\ell_{22}}=\frac{2-0,5\cdot2,5}{\ell_{22}}=\frac{0,75}{\ell_{22}}=0,3872983346,
y_3=\frac{5-\ell_{31}y_1-\ell_{32}y_2}{\ell_{33}} =\frac{5-0,5\cdot2,5-0,3872983346\cdot0,3872983346}{\ell_{33}} =\frac{3,6}{\ell_{33}}=1,897366596.
  1. resolver L^\top\mathbf{x}=\mathbf{y} por back-substitution:
\ell_{33}x_3=y_3\implies x_3=\frac{y_3}{\ell_{33}}=1,
\ell_{22}x_2+\ell_{32}x_3=y_2\implies x_2=\frac{y_2-\ell_{32}x_3}{\ell_{22}}=0,
\ell_{11}x_1+\ell_{21}x_2+\ell_{31}x_3=y_1\implies x_1=\frac{y_1-\ell_{21}x_2-\ell_{31}x_3}{\ell_{11}}=1.
Assim obtemos a solução exata
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{r} 1\\[2pt] 0\\[2pt] 1 \end{array}\right].]

Resposta

(a) \mathbf{x}^{(1)}=\left[\begin{array}{r}0,75\\[2pt]0,0625\\[2pt]1,046875\end{array}\right],\quad \mathbf{x}^{(2)}=\left[\begin{array}{r}0,97265625\\[2pt]-0,0048828125\\[2pt]1,008056640625\end{array}\right]
(b) Método direto sugerido: decomposição de Cholesky A=LL^\top. Vantagens: método direto (solução em número finito de passos), eficiente e numericamente estável para matrizes simétricas definidas positivas (aqui A o é); usando Cholesky obtemos a solução exata \mathbf{x}=(1,0,1)^\top.]

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