(a) (2 pontos) Calcule duas iteraçōes do método de Gauss-Seidel para este sistema, partindo de \mathbf{x}^{(0)}.
(b) ( 2.5 pontos) Além do método iterativo usado em (a), sugira um método direto para resolver esse sistema e explique por que ele pode ser vantajoso.
Perguntas pedidas:
(a) Calcular duas iterações do método de Gauss–Seidel partindo de \mathbf{x}^{(0)}.
(b) Sugerir um método direto para resolver o sistema e explicar por que ele pode ser vantajoso.
Passo 2
Vamos lembrar como funciona o método de Gauss–Seidel de forma didática. Para um sistema \,A\mathbf{x}=b com A=(a_{ij}), a iteração de Gauss–Seidel atualiza cada componente x_i usando a fórmula
x_i^{(k+1)} é o novo valor da componente i na iteração k+1.
a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i.
Na soma com j<i usamos já os valores atualizados x_j^{(k+1)} (é a diferença essencial do Gauss–Seidel em relação ao Jacobi).
Na soma com j>i usamos os valores antigos x_j^{(k)}.
O método costuma convergir quando A é estritamente diagonalmente dominante por linha ou simétrica definida positiva. Aqui cada linha de A satisfaz 4>1+1, então a convergência está garantida.
Passo 3
Aplicamos a fórmula linha a linha para a iteração k=0\) -> \(k+1=1\). Escrevo as equações do sistema:
\[\begin{cases} 4x_1 + x_2 + x_3 = 5,\\[4pt] x_1 + 4x_2 + x_3 = 2,\\[4pt] x_1 + x_2 + 4x_3 = 5. \end{cases}
Agora a parte (b): sugerir um método direto e explicar a vantagem. Uma boa escolha aqui é a decomposição de Cholesky, porque A é simétrica e definida positiva (os autovalores são positivos: 3 com multiplicidade 2 e 6 com multiplicidade 1), então existe L triangular inferior tal que A=LL^\top. A vantagem do Cholesky é que é um método direto (resolve em número finito de operações, não depende de iterações) e é computacionalmente eficiente e numericamente estável para matrizes simétricas definidas positivas (aproximadamente metade do custo de uma decomposição LU genérica).
Passo 11
Vou mostrar a decomposição de Cholesky e como ela resolve o sistema, isso também dá a solução exata (útil na prova). Procuramos L com
(a) \mathbf{x}^{(1)}=\left[\begin{array}{r}0,75\\[2pt]0,0625\\[2pt]1,046875\end{array}\right],\quad \mathbf{x}^{(2)}=\left[\begin{array}{r}0,97265625\\[2pt]-0,0048828125\\[2pt]1,008056640625\end{array}\right]
(b) Método direto sugerido: decomposição de Cholesky A=LL^\top. Vantagens: método direto (solução em número finito de passos), eficiente e numericamente estável para matrizes simétricas definidas positivas (aqui A o é); usando Cholesky obtemos a solução exata \mathbf{x}=(1,0,1)^\top.]